[論文レビュー] Degenerate Daehee polynomials of the second kind

Taekyun Kim, Dae San Kim|arXiv (Cornell University)|Jul 29, 2017

Advanced Mathematical Identities参考文献 15被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、対数関数および退化指数関数を含む新しい母関数を用いて、第二種退化Daehee多項式を導入する。明示的公式、漸化式、およびCarlitzの退化ベルヌーイ多項式やスターリング数との関係を導出し、母関数の操作と組み合わせ係数の抽出により、新たな恒等式を確立する。

ABSTRACT

In this paper, we consider the degenerate Daehee numbers and polynomials of the second kind which are different from the previously introduced Daehee numbers and polynomials. We investigate some properties of these numbers and polynomials. In addition, we give some new identities and relations between the Daehee polynomials of the second kind and Carlitz's degenerate Bernoulli polynomials.

研究の動機と目的

• 既に研究済みの退化Daehee多項式とは異なる、第二種退化Daehee多項式を定義し、それらを調査すること。
• 母関数、λ→0における極限、および古典的・退化特殊多項式との関係を含む、その性質を調査すること。
• 第二種退化Daehee多項式とCarlitzの退化ベルヌーイ多項式との間の新しい恒等式を確立すること。
• 第一種および第二種スターリング数、および退化下降階乗と関連する明示的公式を導出すること。
• 高階の退化Daehee多項式の振る舞いと、母関数分解を用いた関係を検討すること。

提案手法

• 母関数を用いて第二種退化Daehee多項式を定義する：$ \frac{\log(1+t)}{(1+\lambda\log(1+t))^{1/\lambda}-1}(1+\lambda\log(1+t))^{x/\lambda} = \sum_{n=0}^\infty D_{n,\lambda}(x)\frac{t^n}{n!} $。
• 極限 $ \lim_{\lambda \to 0} D_{n,\lambda}(x) = D_n(x) $ を用いて、古典的Daehee多項式との一貫性を確認する。
• 母関数を、退化ベルヌーイ多項式 $ \beta_{m,\lambda}(x) $ およびスターリング数 $ S_1(n,m) $ を含む級数の積に表現する。
• $ \log(1+t) $, $ (\log(1+t))^k $, および $ (1+\lambda\log(1+t))^{x/\lambda} $ を含む母関数の展開を用いて係数を抽出する。
• 展開 $ (1+\lambda\log(1+t))^{x/\lambda} = \sum_{m=0}^\infty (x)_{m,\lambda} \frac{(\log(1+t))^m}{m!} $ を用いる。ここで $ (x)_{m,\lambda} $ は退化下降階乗である。
• スターリング数 $ S_1(n,k) $, $ S_2,\lambda(k,m) $, および高階ベルヌーイ数を含む畳み込み恒等式を用いて、級数係数を組み合わせて明示的公式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 第二種退化Daehee多項式は、既に定義済みの退化Daehee多項式とどのように異なるか？
• RQ2 退化ベルヌーイ多項式、スターリング数、および下降階乗を用いて、$ D_{n,\lambda}(x) $ の明示的公式はどのように表されるか？
• RQ3 第二種退化Daehee多項式とCarlitzの退化ベルヌーイ多項式との間の恒等式は何か？
• RQ4 高階の退化Daehee多項式 $ D_{n,\lambda}^{(r)}(x) $ の振る舞いはどのようにか？ その母関数の構造は何か？
• RQ5 閉形式で表される $ D_{n,\lambda}^{(-r)} $ は何か？ また、高階ベルヌーイ数およびスターリング数とどのように関係するか？

主な発見

• 第二種退化Daehee多項式は母関数 $ \frac{\log(1+t)}{(1+\lambda\log(1+t))^{1/\lambda}-1}(1+\lambda\log(1+t))^{x/\lambda} $ で定義され、$ \lambda \to 0 $ のとき古典的Daeheeの母関数に還元される。
• $ D_{n,\lambda}(x) $ の明示的公式は $ \sum_{k=0}^{n} \sum_{m=0}^{k} \binom{n}{k} (x)_{m,\lambda} S_1(k,m) D_{n-k,\lambda} $ で与えられ、退化下降階乗およびスターリング数と関連している。
• $ D_{n,\lambda}^{(r)}(x) $ の漸化式は $ D_{n,\lambda}^{(r)}(x) = \sum_{k=0}^{n} \sum_{m=0}^{k} \binom{n}{k} (x)_{m,\lambda} S_1(k,m) D_{n-k,\lambda}^{(r)} $ として導出され、$ x $ に関する多項式構造が示される。
• 恒等式 $ D_{n,\lambda}^{(r)}(x+y) = \sum_{k=0}^{n} \sum_{m=0}^{k} \binom{n}{k} D_{n-k,\lambda}^{(r)}(x) (y)_{m,\lambda} S_1(k,m) $ により、$ x $ および $ y $ におけるシフトの多項式性が示される。
• $ D_{n,\lambda}^{(-r)} $ の閉形式は $ \sum_{k=0}^{n} \sum_{l=0}^{k} \frac{\binom{n}{k}}{\binom{k+r}{k}} S_{2,\lambda}(l+r,r) S_1(k+r,l+r) B_{n-k}^{(n-k-r+1)}(1) $ として確立され、負の階数多項式が高階ベルヌーイ数と関連している。
• 本稿では、$ D_{n,\lambda}^{(r)}(x) $ が $ B_{m}^{(m+r+1)}(x+1) $, $ S_{2,\lambda}(k,m) $, $ S_1(p,k) $, および $ S_1(n-p,j) $ を含む三重畳み込みとして表現可能であることを確認し、包括的な係数公式を提供する。