[論文レビュー] Degenerate elliptic operators: capacity, flux and separation

Derek W. Robinson, Adam Sikora|arXiv (Cornell University)|Jan 14, 2006

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 10被引用数 14

ひとこと要約

本稿では、Lipschitz境界をもつ開集合 $\Omega$ に対して、発散型の退化楕円型作用素によって生成される半群が $L_2(\Omega)$ を保存するための必要十分条件を確立している。その条件は、境界 $\partial\Omega$ を通じたエネルギーフラックスがゼロ、または作用素に関する $\partial\Omega$ の容量がゼロであることと同値である。この結果は、作用素の係数の幾何学的・解析的性質と境界挙動を用いて、退化楕円型偏微分方程式における分離現象を特徴づけることに依拠している。

ABSTRACT

Let $S=\{S_t\}_{t\geq0}$ be the semigroup generated on $L_2(\Ri^d)$ by a self-adjoint, second-order, divergence-form, elliptic operator $H$ with Lipschitz continuous coefficients. Further let $Ω$ be an open subset of $\Ri^d$ with Lipschitz continuous boundary $\partialΩ$. We prove that $S$ leaves $L_2(Ω)$ invariant if, and only if, the capacity of the boundary with respect to $H$ is zero or if, and only if, the energy flux across the boundary is zero. The global result is based on an analogous local result.

研究の動機と目的

• Lipschitz連続係数をもつ退化楕円型作用素によって生成される半群が $L_2(\Omega)$ を不変に保つ条件を特徴づけること。
• 開集合 $\Omega$ に関連する不変部分空間に分離する半群作用の必要十分条件を特定すること。
• $\partial\Omega$ を通じたゼロエネルギーフラックス、$\partial\Omega$ のゼロ容量、および半群 $S_t$ による $L_2(\Omega)$ の不変性の三者間の同値性を確立すること。
• 係数に対する最小限の正則性仮定（特にLipschitz連続性）のもとで、強楕円型および準楕円型理論の結果を退化作用素へと拡張すること。

提案手法

• ディリクレ型形式および閉可な対称的双線形形式 $h(\varphi, \psi) = \sum_{i,j} \int \partial_i\varphi \, c_{ij} \, \partial_j\psi$ の理論を用いる。ここで $c_{ij}$ はLipschitz連続であり、行列 $C = (c_{ij})$ は almost everywhere で対称的かつ正定値である。
• 半群 $S_t$ は、形式 $\overline{h}$ の閉包に付随する自己共役作用素 $H$ によって生成され、$L_2(\Omega)$ 上での不変性は境界 $\partial\Omega$ のエネルギーフラックスと容量を用いて分析される。
• エネルギーフラックスは解の法線微分を介して定義され、特に $\Gamma_\eta = 0$ が境界の定義関数 $\eta$ に対して成り立つ条件を通じて、二次形式 $\Gamma_\psi = \sum_{i,j} c_{ij} \partial_i\psi \, \partial_j\psi$ と関連づけられる。
• 容量は、$\partial\Omega$ の近傍で $\varphi \geq 1$ を満たす試験関数 $\varphi \in D(\overline{h})$ に対する $\overline{h}(\varphi)$ の下界として定義され、ゼロ容量は境界を介したエネルギー散逸が存在しないことを意味する。
• 証明は局所的および大域的特徴づけを用い、Lipschitz連続性により、強楕円型がなくても Friedrichs の拡張によって $h$ の閉包性が保証されることを利用している。
• 強楕円型近似 $H_\varepsilon = H + \varepsilon \Delta$ の滑らかさ極限を含む分析により、極限作用素 $H_0$ と関連形式 $h_0$ が得られ、退化系における非閉可形式に対しても取り扱いが可能になる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Lipschitz境界をもつ開集合 $\Omega \subset \mathbb{R}^d$ に対して、退化楕円型作用素によって生成される半群 $S_t$ が $L_2(\Omega)$ を不変に保つ条件は何か？
• RQ2 $\partial\Omega$ を通じたゼロエネルギーフラックスは、$S_t$ による $L_2(\Omega)$ の不変性と同値か？
• RQ3 半群が $L_2(\Omega)$ を不変に保つが $L_2(\Omega^c)$ をはたしないという分離現象が、作用素 $H$ に関する $\partial\Omega$ の容量によって特徴づけられるか？
• RQ4 特に $\partial\Omega$ における係数行列 $C = (c_{ij})$ の退化性を含めた、その幾何学的・解析的性質が半群の不変性に与える影響は何か？
• RQ5 結果は非滑らか係数へどの程度拡張可能か？また、滑らかさ極限の構成により、退化作用素の挙動はどのように回復されるか？

主な発見

• 半群 $S_t$ が $L_2(\Omega)$ を不変に保つための必要十分条件は、境界 $\partial\Omega$ で $\sum_{i,j} c_{ij} n_i n_j = 0$ a.e. が成り立つこと、すなわち外法線 $n$ に対して退化が成立することである。
• $L_2(\Omega)$ の $S_t$ による不変性は、形式 $h$ に関する境界 $\partial\Omega$ の容量 $C_h(\partial\Omega)$ がゼロであることと同値である。
• $\partial\Omega$ の容量がゼロであることは、境界を介したエネルギー散逸が存在しないことを意味し、これは非自明な不変部分空間の存在と同値である。
• 係数 $c_{ij}$ がLipschitz連続であるという仮定のもとで、強楕円型がなくても Friedrichs の拡張により形式 $h$ の閉包性が保証され、この結果が成り立つ。
• テスト関数と容量・エネルギー密度の変分的特徴づけを用いることで、ゼロフラックスとゼロ容量の同値性が確立された。
• 滑らかさ極限の状況では、同じ同値性が極限半群 $S_t^{(0)}$ に対しても成り立ち、分離現象が退化極限でも保存されることを示している。