[論文レビュー] Degenerate flat bands in twisted bilayer graphene

Simon Becker, Tristan Humbert+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 5, 2023

Graphene research and applications被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、ねじれ双層グラフェンにおけるBistritzer-MacDonaldハミルトニアンが、これまで知られていた二重縮退に加え、四重縮退のフラットバンドを示す魔法の角度の存在を証明する。フロケ理論とスペクトル解析を用いて、一般のトンネル結合ポテンシャルに対して無限個のこのような縮退的魔法の角度が存在することを示し、各魔法の角度でフラットバンドは二重または四重の多重性のみを示すことが判明する。四バンド系の場合はチャーン数も計算されている。

ABSTRACT

We prove that in the chiral limit of the Bistritzer--MacDonald Hamiltonian, there exist magic angles at which the Hamiltonian exhibits flat bands of multiplicity four instead of two. We analyse the structure of Bloch functions associated with the bands of arbitrary multiplicity, compute the corresponding Chern number to be $ -1 $, and show that there exist infinitely many degenerate magic angles for a generic choice of tunnelling potential, including the Bistritzer--MacDonald potential. Moreover, we demonstrate for generic tunnelling potentials flat bands have only twofold or fourfold multiplicities.

研究の動機と目的

• ねじれ双層グラフェンのBistritzer-MacDonaldハミルトニアンのキアリック極限において、二重以上に縮退するフラットバンドの存在を調査すること。
• 四重縮退フラットバンドに関連するブロッホ関数の構造を解析し、チャーン数を計算すること。
• 一般のトンネル結合ポテンシャルに対して、四重多重性のフラットバンドが現れる無限個の縮退的魔法の角度が存在することを示すこと。
• 各魔法の角度でハミルトニアンが二重または四重多重性のフラットバンドしか生成しないこと、高次縮退は生じないことを示すこと。
• 系の対称性およびスペクトル的性質（曲率および幾何的多重性の挙動を含む）を確立すること。

提案手法

• 解析は、Bistritzer-MacDonaldハミルトニアンのキアリック極限に基づく。これは、$ D(\alpha) $ を含むブロック行列として表現され、$ \alpha $ はねじれ角の逆数に比例する。
• モアレ格子の並進 $ \mathscr{L}_{\mathbf{a}} $ を用いたフロケ理論が適用され、ハミルトニアン構造を保存する。これにより、ゼロエネルギーを中心に離散的かつ対称なスペクトルが定義可能となる。
• Sobolev空間 $ H^1_k $ 内でスペクトル問題 $ H(\alpha)u = Eu $ を解く。$ k $-依存性はフロケ条件 $ \mathscr{L}_{\mathbf{a}}u = e^{i\langle k,\mathbf{a}\rangle}u $ に符号化される。
• 魔法の角度の存在は、すべての $ k $ に対して $ E_1(\alpha,k) \equiv 0 $ であるという条件によって定義され、多重性はゼロエネルギーを超える最初の非ゼロバンドによって決定される。
• フラットバンドに関連する全純線束の曲率は、グラミアン行列とチャーン数の公式を用いて計算される。対称性解析には $ Rk = \bar{\omega}k $ および $ \Omega $-作用が用いられる。
• 数値実験および行列スペクトル解析（例：$ T_0 $）を用いて、特に非対角化可能な $ T_k $ の場合の代数的・幾何的多重性を検証する。

Figure 1 . Magic angles $\alpha$ derived from potentials $U=U_{1}$ (left) and $U=U_{2}$ (right) in ( 1.1 ). The multiplicity of the flat bands $u$ of $(D(\alpha)+k)u_{k}=0$ is illustrated by the numbers (no number $\rightarrow$ simple magic angle, 2 $\rightarrow$ two-fold degenerate magic angle) in

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ねじれ双層グラフェンのキアリック極限において、既知の二重縮退に加え、四重縮退フラットバンドが存在するか？
• RQ2 四重縮退フラットバンドに関連するブロッホ関数の構造とチャーン数は何か？
• RQ3 一般のトンネル結合ポテンシャルに対して、四重縮退が現れる魔法の角度が無限個存在するか？
• RQ4 ハミルトニアンが、二重または四重多重性のフラットバンドしか生成せず、それ以上の高次縮退は生じないか？
• RQ5 系の対称性（例：$ H(\omega z) = H(z) $）が、フラットバンドの曲率およびスペクトル的性質にどのように制限を加えるか？

主な発見

• 本稿は、Bistritzer-MacDonaldハミルトニアンのキアリック極限において、二重縮退に加え四重縮退フラットバンドを持つ無限個の縮退的魔法の角度が存在することを証明する。
• $ U_1(z) $ に対して、これは標準的なBistritzer-MacDonaldモデルに対応し、四重縮退の複素魔法の角度が無限個存在することが判明。数値的証拠により、磁場が存在する場合に実魔法の角度が現れる可能性がある。
• 四重縮退フラットバンドのチャーン数が計算され、トポロジカルに非自明であることが確認された。また、関連する全純線束の曲率が $ k \mapsto \bar{\omega}k $ に対して対称であることが示された。
• 数値的結果により、各魔法の角度でフラットバンドは二重または四重の多重性のみを示し、高次縮退は観測されなかった。
• $ T_0 $ の固有値 $ 1/\alpha $ の幾何的多重度が、代数的多重度が2であっても常に1であることが判明し、一般に $ T_k $ が非対角化可能でないことが示された。
• ベリー接続の曲率は、ディラック点 $ K, \Gamma, K' $ で極値を示し、実数の二重縮退魔法の角度では、曲率の標準偏差が単一魔法の角度の場合と比較して単調増加することが数値的プロットで示された。

Figure 2 . Let $\alpha\approx 0.853799$ as in Table 1 , lowest two Bloch band with positive energy close to the first magic angle with $U=U_{2}$ . We plot $E_{1}(k)$ (left) and $E_{2}(k)$ (right).