[論文レビュー] Degenerate fourfold Massey products over arbitrary fields

Alexander Merkurjev, Federico Scavia|arXiv (Cornell University)|Aug 27, 2022

Algebraic Geometry and Number Theory被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、2 を法とする特性を持つ任意の体 $F$ およびすべての $a,b,c \in F^\times$ に対して、定義される限り、mod 2 マッセイ積 $\langle a,b,c,a \rangle$ が消えることを証明する。さらに、すべての単位根を含む体を構成し、その絶対ガロア群の mod 2 コチェイン DGA が形式的でない例を提示することで、ポジチェルスキーの問いに答え、$n=4$ および $p=2$ の場合における強いマッセイ消滅予想の重要なケースを確立する。この結果は、Kummer理論と二次拡大におけるノルム群を用いた明示的なコホモロジー計算に依拠している。

ABSTRACT

We prove that, for all fields $F$ of characteristic different from $2$ and all $a,b,c\in F^ imes$, the mod $2$ Massey product $\langle a,b,c,a angle$ vanishes as soon as it is defined. For every field $F_0$, we construct a field $F$ containing $F_0$ and $a,b,c,d\in F^ imes$ such that $\langle a,b,c angle$ and $\langle b,c,d angle$ vanish but $\langle a,b,c,d angle$ is not defined. As a consequence, we answer a question of Positselski by constructing the first examples of fields containing all roots of unity and such that the mod $2$ cochain DGA of the absolute Galois group is not formal.

研究の動機と目的

• 任意の特性 $\neq 2$ の体 $F$ に対して、定義される限り、mod 2 マッセイ積 $\langle a,b,c,a \rangle$ が消えることを証明すること。
• 任意の与えられた体 $F_0$ に対して、$F$ を $F_0$ を含む体拡大とし、$a,b,c,d \in F^\times$ を選び、$\langle a,b,c \rangle$ および $\langle b,c,d \rangle$ が消えるが $\langle a,b,c,d \rangle$ が定義されないようなものを構成すること。
• ポジチェルスキーの問いに応えるために、すべての単位根を含む体の例を初めて構成し、その絶対ガロア群の mod 2 コチェイン DGA が形式的でないことを示すこと。
• $ad$ および $abc$ が $F$ 内の平方であるという条件下で、マッセイ積 $\langle a,b,c,d \rangle$ が定義され、かつ消える条件を完全に特定すること。

提案手法

• Kummer理論を用いて $H^1(F, \mathbb{Z}/2\mathbb{Z})$ を $F^\times / F^{\times 2}$ と同一視し、マッセイ積を $F^\times$ の元を用いて研究可能にする。
• 特に Hilbert の定理 90 を用いて、二重二次拡大 $F_{a,b} = F(\sqrt{a}, \sqrt{b})$ 内のノルム群 $N_{a,b}$ の構造を分析することでマッセイ積を解析する。
• ノルム類似体とコホモロジー道具を用いて、マッセイ積の消滅を、あるカップ積の自明性およびノルム群内での解の存在と関連付ける。
• 特に Lemma A.4 で、二次拡大におけるトレースおよびノルム写像を用いて、必要なコホモロジー的条件を満たす明示的要素を構成する。
• $F_{a,b,c,d}$-点およびノルム群の交差構造を用いて、$ad$ および $abc$ が $F$ 内の平方であるという条件下で、$\langle a,b,c,d \rangle$ の定義可能性と消滅の同値性を証明する。
• 隣接するカップ積が自明であるにもかかわらずマッセイ積が定義されないことに起因する反例を構成することで、消滅条件の逆が成り立たないことを突き破る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 特性 $\neq 2$ の任意の体 $F$ に対して、定義される限り、mod 2 マッセイ積 $\langle a,b,c,a \rangle$ は消えるか？
• RQ2 すべての単位根を含む体 $F$ を構成できるか、そのとき絶対ガロア群の mod 2 コチェイン DGA が形式的でないか？
• RQ3 $F$ と $a,b,c,d \in F^\times$ が存在して、$\langle a,b,c \rangle$ および $\langle b,c,d \rangle$ は消えるが $\langle a,b,c,d \rangle$ は定義されないか？
• RQ4 $a,b,c,d \in F^\times$ に対して、$ad$ および $abc$ が $F$ 内の平方であるとき、マッセイ積 $\langle a,b,c,d \rangle$ が定義され、かつ消える条件は何か？

主な発見

• 任意の特性 $\neq 2$ の体 $F$ およびすべての $a,b,c \in F^\times$ に対して、定義される限り、mod 2 マッセイ積 $\langle a,b,c,a \rangle$ は消える。
• 本稿は、任意の体 $F_0$ に対して、$F$ を $F_0$ を含む体拡大とし、$a,b,c,d \in F^\times$ を選び、$\langle a,b,c \rangle$ および $\langle b,c,d \rangle$ が消えるが $\langle a,b,c,d \rangle$ が定義されないようなものを構成する。
• 著者らは完全な特徴付けを与える：$a,b,c,d \in F^\times$ で $ad$ および $abc$ が $F$ 内の平方であるとき、マッセイ積 $\langle a,b,c,d \rangle$ が定義され、かつ消えるための必要十分条件は、$\operatorname{Br}(F)$ 内で $(b,c) = 0$ かつ $-1 \in N_{b,c}$ であることである。
• 著者らは、すべての単位根を含む体の例を初めて構成し、その絶対ガロア群の mod 2 コチェイン DGA が形式的でない例を提供し、ポジチェルスキーの問いに答えている。
• $\langle a,b,c,d \rangle$ の定義可能性と消滅の同値性は、$ad$ および $abc$ が $F$ 内の平方であるという条件下で成り立ち、積が消えるための必要十分条件は、$-1 \in N_{b,c}$ かつ $\operatorname{Br}(F)$ 内で $(b,c) = 0$ であることである。
• 証明は、特に Hilbert の定理 90 と $F_{a,b}$-点の構造を用いた、二重二次拡大におけるノルム群およびトレース写像の詳細な分析に依拠している。