[論文レビュー] Degenerate-parabolic partial differential equations with unbounded coefficients, martingale problems, and a mimicking theorem for Ito processes

Paul M. N. Feehan, Camelia A. Pop|arXiv (Cornell University)|Dec 20, 2011

Nonlinear Partial Differential Equations被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、境界における特異性を反映した重み付き Hölder 空間において、非有界で線形成長する係数をもつ退化放物型 PDE の解の存在および一意性を確立する。これらの結果により、金融工学および拡散過程に関連する非有界かつ退化した設定における、Stroock と Varadhan の枠組みに拡張されたマーティングール問題の適切な定式化が達成される。

ABSTRACT

Motivated by applications to probability and mathematical finance, we consider a parabolic partial differential equation on a half-space whose coefficients are suitably Holder continuous and allowed to grow linearly in the spatial variable and which become degenerate along the boundary of the half-space. We establish existence and uniqueness of solutions in weighted Holder spaces which incorporate both the degeneracy at the boundary and the unboundedness of the coefficients. In our companion article [arXiv:1211.4636], we apply the main result of this article to show that the martingale problem associated with a degenerate-elliptic partial differential operator is well-posed in the sense of Stroock and Varadhan.

研究の動機と目的

• 非有界で線形成長する係数をもつ退化放物型 PDE の解の存在および一意性を半空間において解明すること。
• 重み付き Hölder 空間を用いて、境界における特異性と係数の非有界性の両方を組み込むこと。
• 退化および非有界な設定におけるマーティングール問題の適切な定式化の理論的基盤を構築すること。
• Ito 確率過程の拡散係数が退化する状況における確率論および金融工学への応用を支援すること。

提案手法

• 空間変数に関して線形に成長する Hölder 連続な係数をもつ半空間上での放物型 PDE の解析。
• 重み付き Hölder 空間を用いて、境界における特異性と係数の非有界性の両方を扱うこと。
• 特にマーティングール問題の定式化を用いた確率論的技法の応用により、PDE の解と確率過程を結びつけること。
• 同伴論文 [arXiv:1211.4636] の結果を活用し、Stroock と Varadhan の意味での適切な定式化を確立すること。
• マーティングール問題の解を用いて、Ito 確率過程のミミッキング定理を確立すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非有界係数をもつ退化放物型 PDE が重み付き Hölder 空間において一意解をもつための条件は何か？
• RQ2 境界における特異性と係数の線形成長を、解空間において同時に扱う方法は何か？
• RQ3 非有界係数をもつ退化楕円型作用素に対するマーティングール問題が適切に定式化されるための条件は何か？
• RQ4 関連するマーティングール問題の解から、Ito 確率過程のミミッキング定理を導出できるか？

主な発見

• 非有界で線形成長する係数をもつ退化放物型 PDE に対して、重み付き Hölder 空間において解の存在および一意性が確立された。
• 解空間は、境界における特異性と係数の非有界性の両方を効果的に捉えている。
• 退化楕円型作用素に関連するマーティングール問題は、Stroock と Varadhan の意味で適切に定式化されている。
• これらの結果により、係数が退化および非有界な状況下での Ito 確率過程のミミッキング定理の支持が得られた。