[論文レビュー] Degenerate Perverse Sheaves on Abelian Varieties

Rainer Weissauer|arXiv (Cornell University)|Apr 10, 2012

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 13被引用数 13

ひとこと要約

この論文は、複素アーベル多様体上の極小な perverse sheaf で、オイラー＝ポワンカレ特性が消えるものについて、ある正次元のアーベル部分多様体の下で平行移動不変であることを確立する。層論的誘導と単純アーベル多様体への還元——D-加群理論と特徴的 p の方法を支援して——著者たちは、このような層が無視可能な層の類に属することを証明し、アーベル多様体における一般化の定理の鍵となるステップを解決する。

ABSTRACT

We analyze irreducible perverse sheaves on abelian varieties, defined over the complex numbers or the algebraic closure of a finite field, whose Euler characteristic is zero. We give a description of such perverse sheaves under assumptions for the case of simple abelian varieties.

研究の動機と目的

• 複素アーベル多様体上の perverse sheaf で、オイラー＝ポワンカレ特性が消えるものの特徴づけを行う。
• このような層が、ある正次元のアーベル部分多様体の下で平行移動不変でなければならないことを示す。
• アーベル多様体の分解における単純因子の数に関する層論的誘導を用いて、一般の場合を単純アーベル多様体の場合に還元する。
• 有限体上の基本ケースを除き、特徴的 p の方法を用いて正標数へと結果を拡張する。
• Chr. Schnell の D-加群に基づく議論とは別個の証明を提示し、任意の体、特に有限体に対しても適用可能である。

提案手法

• アーベル多様体の分解における単純因子の数に関する層論的誘導を用いる。
• 同種写像と平行移動作用の下での perverse sheaf の分析を通じて、問題を単純アーベル多様体のケースに還元する。
• D-加群理論と特徴的多様体の理論を適用し、退化するラグランジュ的サポートが、特徴的多様体がゼロ錐に等しい（つまり自明）ことを示す。
• 特徴的トゥイストと同種写像の下での直接像関手を用いて、クラス E(X) と N(X) の安定性を保つ。
• 写像 $ q: X \to X/A $ を用いて、$ X $ 上の perverse sheaf と商多様体上のそれらを関連づけ、サポートと分岐構造を保存する。
• 特に [W3] に由来する、特徴的 $ p > 0 $ の方法を組み込み、正標数における議論を支援する。特に付録で使用されている。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 複素アーベル多様体上の極小な perverse sheaf でオイラー＝ポワンカレ特性がゼロである場合、どのような条件下でそれが必ず平行移動不変となるのか？
• RQ2 単純アーベル多様体上のアセイクルな perverse sheaf の特徴づけを、層論的還元を用いて非単純な場合へと拡張できるか？
• RQ3 複素数体上での結果が、有限体上のアーベル多様体へどの程度一般化できるか？
• RQ4 単純な場合の議論の直接的な一般化がない状況において、D-加群技法と特徴的多様体解析は、平行移動不変性の証明にどのように寄与するか？
• RQ5 特徴的トゥイストと直接像関手は、同種写像の下でクラス $ E(X) $ と $ N(X) $ をどの程度保っているのか？

主な発見

• 主結果、定理 1 は、複素アーベル多様体 $ X $ 上の任意の極小な perverse sheaf $ K $ で $ \chi(K) = 0 $ を満たすものについて、ある正次元のアーベル部分多様体 $ A \subseteq X $ の下で平行移動不変であることを示す。
• クラス $ F(X) $ すなわち $ E(X) \setminus N(X) $ に属する極小な perverse sheaf は空である。これは、すべてのアセイクルな perverse sheaf が無視可能であることを意味する。
• 証明は一般の場合を、D-加群理論を用いて既に確立済みの単純アーベル多様体の場合に還元する。
• ここでの層論的誘導法は、$ \mathbb{C} $ に限らず、有限体に対しても有効であり、その前提として単純多様体の場合の基本ケースが正標数でも成立することを要件とする。
• 証明は $ \wp^{(m)}_* $ がテンソル関手であるという事実を用い、自己双対性や畳み込み構造といった性質を保存する。非不変なアセイクル層の存在を仮定すると、これにより矛盾が生じる。
• 直接像 $ Rp_*\tilde{K} $ のランクに関する矛盾が生じる。このランクは $ \deg(\wp^{(m)}) $ でなければならないが、これにより $ \#X(\kappa_m) = 1 $ が得られ、これは大きな $ m $ に対して不可能である。ゆえに、このような層が存在し得ないことが証明される。