[論文レビュー] Degeneration of endomorphisms of the complex projective space in the hybrid space

Charles Favre|arXiv (Cornell University)|Nov 25, 2016

Geometry and complex manifolds参考文献 56被引用数 36

ひとこと要約

本稿は、複素射影空間 $\mathbb{P}^k_{\mathbb{C}}$ 上の次数 $d$ の自己準同型のメロモーレック族に対して、パラメータが 0 に近づく際、Berkovich が構築し、Boucksom と Jonsson が精緻化したハイブリッド解析的空間内において、最大エントロピー測度 $\mu_t$ が関連する非アルキメデス的力学系の均衡測度 $\mu_{\mathcal{R}}$ に収束することを確立する。収束はハイブリッド設定におけるモデル関数とモンジュ＝アンペール測度を用いて示され、リャプノフ指数の blow-up 評価への応用を伴う。

ABSTRACT

We consider a meromorphic family of endomorphisms of degree at least 2 of a complex projective space that is parameterized by the unit disk.We prove that the measure of maximal entropy of these endomorphisms converges to the equilibrium measure of the associated non-Archimedean dynamical system when the system degenerates. The convergence holdsin the hybrid space constructed by Berkovich and further studied by Boucksom and Jonsson. We also infer from our analysis an estimate for the blow-up of the Lyapunov exponent near a pole in one-dimensional families of endomorphisms.

研究の動機と目的

• パラメータが 0 に近づく際、複素射影空間上の力学系の退化を分析すること。
• ハイブリッド空間内において、最大エントロピー測度 $\mu_t$ が非アルキメデス的均衡測度 $\mu_{\mathcal{R}}$ に収束することを確立すること。
• リーマン球面上の有理写像に対して DeMarco と Faber が得た収束結果の高次元一般化を提供すること。
• 1次元の自己準同型族における極の近傍におけるリャプノフ指数の blow-up 率の推定を導出すること。
• 動的系に対して、モデル関数とモンジュ＝アンペール測度の枠組みをハイブリッド解析的空間へ拡張すること。

提案手法

• Berkovich が構築し、Boucksom と Jonsson が発展させたハイブリッド解析的空間を用い、単位ディスク上に複素解析的および非アルキメデス的解析的構造を統合する。
• パラメータ $t$ における $t$-adic 絶対値とハイブリッドノルム $|\cdot|_{\text{hyb}}$ を用いて、ハイブリッド空間上のモデル関数を定義し、複素幾何と非アルキメデス的幾何の間の比較を可能にする。
• モデル関数およびその一様極限にモンジュ＝アンペール作用素を適用し、ハイブリッド空間上に測度を構成する。
• 複素ケースでは $\frac{1}{d^{kn}}(R_t^n)^*\omega_{\text{FS}}^{\wedge k}$ の引き戻しの収束が $\mu_t$ に、非アルキメデス的ケースでは $\frac{1}{d^{kn}}(\mathcal{R}^n)^*\delta_{x_G}$ の引き戻しの収束が $\mu_{\mathcal{R}}$ にそれぞれ対応することを用いる。
• 写像 $\psi: \mathbb{P}^k_{\mathbb{C}} \times \overline{\mathbb{D}}_r^* \to \pi^{-1}(\tau(\overline{\mathbb{D}}_r^*))$ を用いて、複素ファイバーとハイブリッドファイバーを同定する。
• [BJ17] の体積形式およびモンジュ＝アンペール測度の退化に関する結果を応用し、$\mu_t$ の極限が非アルキメデス的均衡測度に一致することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ハイブリッド空間内において、$\mathbb{P}^k_{\mathbb{C}}$ 上の自己準同型のメロモーレック族に対して、最大エントロピー測度 $\mu_t$ は $t \to 0$ の際に非アルキメデス的均衡測度 $\mu_{\mathcal{R}}$ に収束するか？
• RQ2 $\mu_t$ が複素解析的空間に、$\mu_{\mathcal{R}}$ が非アルキメデス的解析的空間に属する場合、$\mu_t$ の収束をどのように意味的に定義できるか？
• RQ3 1次元の自己準同型族における極の近傍でのリャプノフ指数の blow-up 率は、ハイブリッド空間枠組みを用いて推定可能か？
• RQ4 ハイブリッド空間上でのモデル関数のモンジュ＝アンペール測度の極限が、非アルキメデス的均衡測度と等しいか？
• RQ5 ハイブリッド設定において、体積形式の退化およびそれに関連する計量の退化を、均衡測度の退化とどの程度まで関連づけられるか？

主な発見

• パラメータ $t \to 0$ の際、複素自己準同型 $R_t$ の最大エントロピー測度 $\mu_t$ は、非アルキメデス的自己準同型 $\mathcal{R}$ が定義される $\mathbb{P}^{k,\text{an}}_{\mathbb{C}((t))}$ 上の均衡測度 $\mu_{\mathcal{R}}$ にハイブリッド空間内で収束する。
• 収束はハイブリッド構造を介して確立され、$t \in \mathbb{D}^*$ におけるファイバーは $\mathbb{P}^k_{\mathbb{C}} \times \{t\}$ と同型であり、$t=0$ における中心ファイバーは Berkovich の解析的化 $\mathbb{P}^{k,\text{an}}_{\mathbb{C}((t))}$ に同定される。
• 極限測度 $\mu_{\mathcal{R}}$ は、列 $\frac{1}{d^{kn}}(\mathcal{R}^n)^*\delta_{x_G}$ の一意的な弱収束極限として得られ、非アルキメデス的設定における均衡測度である。
• 本稿では、1次元の自己準同型族における極の近傍でのリャプノフ指数の blow-up 状態について、退化解析から推定式を導出する。
• ハイブリッド空間上でのモデル関数の一様極限のモンジュ＝アンペール測度は、測度 $\mu_t$ の極限と一致し、複素動的系と非アルキメデス的動的系の間の橋渡しを果たす。
• DeMarco と Faber の $k=1$ の収束結果は、本稿により高次元射影空間へ一般化され、今後の同定理の一般化のための枠組みが提供される。