[論文レビュー] Degeneration of Kähler-Ricci solitons

Gang Tian, Zhenlei Zhang|arXiv (Cornell University)|Jun 8, 2010

Geometry and complex manifolds参考文献 27被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、体積とFutaki不変量が一様に有界なコンパクトな収縮型ケーラー・リッチ・ソリトンの列のGromov-Hausdorff極限が、余次元4以上の特異点集合を持つ距離空間であることを確立している。正則部は、収縮型ケーラー・リッチ・ソリトン方程式を満たす滑らかなケーラー多様体である。収束は正則部上で滑らかであり、極限計量は特異点集合を除いてケーラー・リッチ・ソリトン構造によって誘導される。これは、アインシュタインおよびリッチ・ソリトンの退化に関する先行研究を、最良の正則性境界を伴うケーラー設定へと拡張するものである。

ABSTRACT

Let $(Y, d)$ be a Gromov-Hausdorff limit of $n$-dimensional closed shrinking Kähler-Ricci solitons with uniformly bounded volumes and Futaki invariants. We prove that off a closed subset of codimension at least 4, Y is a smooth manifold satisfying a shrinking Kähler-Ricci soliton equation. A similar convergence result for Kähler-Ricci flow of positive first Chern class is also obtained.

研究の動機と目的

• 体積とFutaki不変量が一様に有界なコンパクトな収縮型ケーラー・リッチ・ソリトンの列のGromov-Hausdorff極限を解析すること。
• 極限空間における特異点集合の余次元が4以上であることを確立すること。
• 極限空間の正則部が、収縮型ケーラー・リッチ・ソリトン方程式を満たす滑らかなケーラー計量を有することを証明すること。
• 列が極限空間に正則部上で滑らかに収束することを示すこと。
• リッチ・ソリトンの退化理論を、最小限の曲率仮定のもとでケーラーの場合へと拡張すること。

提案手法

• 収縮ソリトンの幾何を制御するため、リッチ・フローに沿ったPerelmanのエントロピー関数 μ(g, 1/2) 及びその単調性を利用する。
• 1次のチャーン類とFutaki不変量の一様有界性を用いて、極限における径路と曲率の振る舞いを制御する。
• 特異点集合における吹き上げ解析を実行し、特異点集合の余次元が4以上であるという事実を用いて、被覆領域における部分積分を可能にする。
• ポテンシャル関数 u 及びその極限に対する楕円型正則性理論を適用し、正則部における極限計量の滑らかさを示す。
• リッチポテンシャル u_k がリーマンスキー極限 u_∞ に収束することを示し、これがPerelmanのエントロピー関数からの f 関数の極限と一致することを示す。
• ソリトン方程式の極限を用いて、極限計量 g_∞ が正則部で収縮型ケーラー・リッチ・ソリトン方程式を満たすことを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 体積とFutaki不変量が一様に有界なコンパクトな収縮型ケーラー・リッチ・ソリトンの列のGromov-Hausdorff極限の構造は何か？
• RQ2 極限空間の正則部に、収縮型ケーラー・リッチ・ソリトン方程式を満たす滑らかなケーラー計量を定義できるか？
• RQ3 これらの有界性条件下で、極限空間における特異点集合の余次元は何か？
• RQ4 ソリトン列が極限空間に正則部上で滑らかに収束するか？
• RQ5 リッチポテンシャルとPerelmanのエントロピー関数は極限でどのように振る舞い、極限ソリトン構造と何の関係があるか？

主な発見

• 体積とFutaki不変量が一様に有界な n 次元コンパクトな収縮型ケーラー・リッチ・ソリトンの列のGromov-Hausdorff極限 (Y,d) は、余次元が4以上の閉じた特異点集合 S を持つ。
• 正則部 Y∖S において、計量 d は、収縮型ケーラー・リッチ・ソリトン方程式を満たす滑らかなケーラー計量によって誘導される。
• 列 (M_i, g_i) から極限空間 (Y,d) への収束は、正則部 Y∖S で滑らかである。
• 正則部における極限ポテンシャル関数 u_∞ は、Perelmanのエントロピー関数からの f 関数の極限と一致し、ソリトン方程式との一貫性を保証する。
• 極限計量 g_∞ は正則部で Ric(g_∞) + ∇̄∇u_∞ = g_∞ を満たし、ソリトン構造が確認される。
• Futaki不変量の均一有界性は、径路の均一有界性を意味し、代数的幾何における有限性結果により、Fano多様体では条件が自動的に満たされる。