[論文レビュー] Degeneration of Kahler-Ricci solitons on Fano manifolds

D. H. Phong, Jian Song+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 26, 2012

Geometry and complex manifolds参考文献 11被引用数 17

ひとこと要約

本稿は、Futaki不変量 $F$ が有界である $n$ 次元 Fano多様体上の Kähler-Ricci 溶媒について、Bergman 核の一様下界を示す部分的 $C^0$ 評価を確立する。その結果、任意の $\text{KR}(n,F)$ 内の列は、log 末端特異点をもつ $\bbQ$-Fano 多様体に Gromov-Hausdorff 収束し、極限的 Kähler-Ricci 溶媒計量を備える。

ABSTRACT

We consider the space KR(n,F) of Kahler-Ricci solitons on n-dimensional Fano manifolds with Futaki invariant bounded by F. We prove a partial C^0 estimate for KR(n,F) as a generalization of the recent work of Donaldson-Sun for Fano Kahler-Einstein manifolds. In particular, any sequence in KR(n,F) has a convergent subsequence in the Gromov-Hausdorff topology to a Kahler- Ricci soliton on a Q-Fano variety with log terminal singularities.

研究の動機と目的

• Futaki 不変量 $F$ が有界な Fano 多様体上の Kähler-Ricci 溶媒について、Kähler-Einstein 計量に対する先行結果を一般化して、部分的 $C^0$ 評価を確立すること。
• Gromov-Hausdorff 収束におけるモジュライ空間 $\text{KR}(n,F)$ のコンパクト性を証明し、Donaldson-Sun の結果を溶媒設定に拡張すること。
• $\text{KR}(n,F)$ 内の列の Gromov-Hausdorff 極限が、log 末端特異点をもつ $\bbQ$-Fano 多様体であり、極限的 Kähler-Ricci 溶媒構造を有することを示すこと。
• コンパクト化されたモジュライ空間の代数的有界性を確立し、$c_1^n$、不変量、$-K_X$ の Cartier 指数についての境界を得ること。

提案手法

• Bergman 核 $\rho_{X,k}$ の一様下界を、$K_X^{-k}$ の切断の $L^2$ 内積と正規化計量を用いて、部分的 $C^0$ 評価を導入する。
• 部分的 $C^0$ 評価を用いて Bergman 核の成長を制御し、Ricci 有位関数および正則ベクトル場に関する一様境界を得る。
• Gromov-Hausdorff 収束の技法を用いて $\text{KR}(n,F)$ 内の列の極限を分析し、Kähler カレントを備えた計量的長さ空間への収束を示す。
• 体積形式の可積分性と特異点の解消を用いて、極限多様体 $X_\f$ が代数的 $\bbQ$-Fano 多様体であり、log 末端特異点をもつことを確立する。
• 極限計量 $g_\f$ が有界局所有位関数をもつ Kähler カレントであり、正則部分上で滑らかで、正則部分上で Kähler-Ricci 溶媒方程式を満たすことを示す。
• Monge-Ampère 方程式と Schwarz 型評価を適用し、有位関数 $u_\f$ とベクトル場 $V_\f$ が一様に有界であり、全域に一様に拡張可能であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Futaki 不変量が有界な Fano 多様体上の Kähler-Ricci 溶媒について、部分的 $C^0$ 評価を確立できるか？
• RQ2 $\text{KR}(n,F)$ のモジュライ空間は Gromov-Hausdorff 位相でコンパクト化可能か？ その極限空間の性質は何か？
• RQ3 Gromov-Hausdorff 極限における極限計量は、Kähler カレントであり、Kähler-Ricci 溶媒方程式を満たすか？
• RQ4 コンパクト化されたモジュライ空間上で、$c_1^n$、不変量、$-K_X$ の Cartier 指数といった代数的不変量が一様に有界であるか？
• RQ5 すべての $n$ 次元 Fano 多様体において、Futaki 不変量は一様に有界であるか？ そして、このことは双有理幾何における有界性問題に何を意味するか？

主な発見

• すべての $(X,g) \to \text{KR}(n,F)$ に対して、$k(n,F) \to \bbZ^+$ および $\f(n,F) > 0$ が存在し、任意の $z \to X$ に対して Bergman 核 $\rho_{X,k}$ が $\rho_{X,k}(z) \to \f$ を満たす。これにより部分的 $C^0$ 評価が確立される。
• 任意の $\text{KR}(n,F)$ 内の列は、$\bbQ$-Fano 多様体で log 末端特異点をもつコンパクトな計量的長さ空間 $(X_\f, g_\f)$ に Gromov-Hausdorff 収束する。
• 極限計量 $g_\f$ は有界局所有位関数をもつ Kähler カレントであり、正則部分上で滑らかで、Kähler-Ricci 溶媒方程式 $Ric(g_\f) = g_\f + L_{V_\f}g_\f$ を満たす。
• 多様体 $X_\f$ 上の正則ベクトル場 $V_\f$ は全域に定義されており、$L^\f$-ノルムで有界であり、$\f_{X_\f}(V_\f) \to F$ を満たす。これにより Futaki 不変量が一様に有界であることが保証される。
• コンパクト化されたモジュライ空間 $\bar{\text{KR}}(n,F)$ は代数的有界性を満たす：$-mK_X$ は Cartier であり、$[K_X]^n \to C(n,F)$ であり、$discr(X) > -1 + \f(n,F)$ となるような $m, C, \f > 0$ が存在する。
• 計量 $g_\f$ のRicci曲率は正則部分上で一様に有界であり、有位関数 $u_\f$ は $g_\f$ の倍数に関して擬・シュワルツ函数である。