[論文レビュー] Degeneration of moduli spaces and generalized theta functions

Xiaotao Sun|ArXiv.org|Jul 29, 1999

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 22被引用数 55

ひとこと要約

本稿は、ノーディング曲線の半安定な縁なし層のモジュライ空間上の一般化されたテータ関数の空間と、その正規化（ genus $g-1$ の滑らかな曲線）上の同様の空間の直和との間の因子分解同型を確立する。主な結果は、ノーディング曲線上の一般化されたテータ関数の因子分解定理であり、これは一般化されたパラボリック層（GPS）の構成と、テータ線束の $H^1$ の消失定理を用いて証明され、以前のランク2の結果を任意のランク $r$ に拡張する。本研究は、コンformal field theory や代数幾何学におけるモジュライ空間の退化を研究するための基盤的枠組みを提供する。

ABSTRACT

We prove a factorization theorem of generalized functions for moduli spaces of semistable parabolic bundles of any rank.

研究の動機と目的

• ノーディング曲線上の一般化されたテータ関数の因子分解則をランク2から任意のランク $r$ に一般化すること。
• ランク $r \geq 3$ のノーディング曲線の、半安定な縁なし層のモジュライ空間上のテータ線束の $H^1$ の消失定理を確立すること。
• ノーディング曲線のテータ線束の正則切断の空間が、ノードの前像におけるパラボリック構造を介して、正規化上の同様の空間の直和と関係づけられることを示すこと。
• 一般化されたパラボリック層（GPS）を用いた幾何的枠組みを提供し、特異曲線と滑らかな曲線上のモジュライ空間を関連付けること。
• 因子分解および消失定理の適用範囲を、モジュライ空間の退化の文脈における高ランクベクトルバンドルへ拡張すること。

提案手法

• ノーディング曲線 $X$ の正規化 $\widetilde{X}$ 上に、ランク $r$ の縁なし層 $E$ とノードの前像における $E_{x_1} \oplus E_{x_2}$ の商 $Q$ を用いた一般化されたパラボリック層（GPS）の構成を導入する。
• 半安定なGPSのモジュライ空間 $\Cal{P}$ を定義し、正確な列 $0 \to F \to \pi_*E \to {}_{x_0}Q \to 0$ を用いて、$X$ 上の縁なし層のモジュライ空間 $\Cal{U}_X$ へのモルフィズム $\pi: \Cal{P} \to \Cal{U}_X$ を構成する。
• パラメータ $k, r, d, \ell, \alpha_x, \vec{a}(x), \vec{n}(x)$ を含む極化条件を用いて、$\Cal{U}_X$ 上に非常に線分束 $\Theta_{\Cal{U}_X}$ を構成し、$\mu = (\mu_1, \dots, \mu_r)$ から導かれる重みを用いて、パラボリックモジュライ空間 $\Cal{U}^\mu_{\widetilde{X}}$ 上に $\Theta_{\Cal{U}^\mu_{\widetilde{X}}}$ を定義する。
• GPS に基づくモルフィズムの下での線分束の直接像の解析と、群作用による不変性を用いて、因子分解同型 $H^0(\Cal{U}_X, \Theta_{\Cal{U}_X}) \cong \bigoplus_\mu H^0(\Cal{U}^\mu_{\widetilde{X}}, \Theta_{\Cal{U}^\mu_{\widetilde{X}}})$ を証明する。
• Cohen-Macaulay 空間と有理的特異点を持つ空間におけるコホモロジーの Hartogs 型拡張と、Kodaira 型消失定理を用いて、$g \geq 3$ のとき $H^1(\Cal{U}_X, \Theta_{\Cal{U}_X}) = 0$ を確立する。
• スペクトル系列と、$\Cal{P}$ から $J^d_{\widetilde{X}}$ へのデターミナント写像 $\mathrm{Det}: \Cal{P} \to J^d_{\widetilde{X}}$ における直接像の分解を用いて、$H^1(\Cal{P}, \Theta_{\Cal{P}}) = 0$ を証明し、因子分解構造により $\Cal{U}_X$ 上での消失が示される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ノーディング曲線上の一般化されたテータ関数の因子分解則をランク2から任意のランク $r$ にどのように拡張できるか。
• RQ2 ノーディング曲線の縁なし層のモジュライ空間上のテータ線束の正則切断の空間と、その正規化上の同様の空間との間の正確な関係は何か。
• RQ3 ランク $r \geq 3$ のノーディング曲線の半安定な縁なし層のモジュライ空間上で、テータ線束の第一コホモロジー群は消えるか。
• RQ4 一般化されたパラボリック層（GPS）の構成は、特異曲線と滑らかな曲線上のモジュライ空間を、一般化されたテータ関数の構造を保ちながら関連付けることができるか。
• RQ5 重みとパラボリック構造にどのような条件を課えると、ノーディング曲線と正規化曲線上の正則切断の間のwell-definedな同型写像が保証されるか。

主な発見

• 任意のランク $r$ に対して、因子分解同型 $H^0(\Cal{U}_X, \Theta_{\Cal{U}_X}) \cong \bigoplus_\mu H^0(\Cal{U}^\mu_{\widetilde{X}}, \Theta_{\Cal{U}^\mu_{\widetilde{X}}})$ が成り立つ。これは以前のランク2の結果を一般化する。
• 空間 $H^0(\Cal{U}_X, \Theta_{\Cal{U}_X})$ は、$0 \leq \mu_r \leq \cdots \leq \mu_1 \leq k-1$ を満たすすべての $\mu = (\mu_1, \dots, \mu_r)$ に対する直和に分解される。これはノードの前像における重みによってインデックス付けされる。
• $g \geq 3$ のとき、第一コホモロジー群 $H^1(\Cal{U}_X, \Theta_{\Cal{U}_X})$ は消える。これにより、$\dim H^0(\Cal{U}_X, \Theta_{\Cal{U}_X}^k)$ が退化のもとで一定であることが保証される。
• 一般化されたパラボリック層のモジュライ空間 $\Cal{P}$ 上での $H^1$ の消失は、スペクトル系列とデターミナント写像の下での直接像の分解を用いて確立された。
• テータ線束 $\Theta_{\Cal{U}_X}$ の構成は、$k, r, d, \ell, \alpha_x, \vec{a}(x), \vec{n}(x)$ を含む極化条件により明示的に定義され、$\sum_{x\in I} \sum_{i=1}^{l_x} d_i(x)r_i(x) + r\sum_{x\in I} \alpha_x + r\ell = k(d + r(1-g))$ を満たす。
• 証明は、$\Cal{H}^L$ と $\Cal{P}^L$ が Cohen-Macaulay であり、有理的特異点を持つことを利用しており、コホモロジー拡張にKodaira型およびHartogs型定理を適用可能にする。