[論文レビュー] Degree-degree dependencies in random graphs with heavy-tailed degrees

Remco van der Hofstad, Nelly Litvak|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2014

Complex Network Analysis Techniques参考文献 42被引用数 21

ひとこと要約

本稿は、重い尾を持つ次数を持つスケールフリーネットワークにおいて、次数同士の依存関係のピアソン積率相関係数が、大規模ネットワークでは信頼性が低く、強い負の依存関係がある場合でさえ、しばしば0または非負の値に収束することを示している。本稿では、スケールフリーネットワークにおける次数同士の依存関係をより信頼性高く測定する代替手段としてスピアマンの順位相関係数（rho）を提案し、一般のネットワークモデルにおいても意味のある極限に収束することを証明した。これにより、ネットワークサイズに依存しない一貫性のある混合パターンの分析が可能になる。

ABSTRACT

Mixing patterns in large self-organizing networks, such as the Internet, the World Wide Web, social and biological networks are often characterized by degree-degree dependencies between neighbouring nodes. In assortative networks, the degree-degree dependencies are positive (nodes with similar degrees tend to connect to each other), while in disassortative networks, these dependencies are negative. One of the problems with the commonly used Pearson correlation coecient, also known as the assortativity coecient is that its magnitude decreases with the network size in disassortative networks. This makes it impossible to compare mixing patterns, for example, in two web crawls of dierent sizes. As an alternative, we have recently suggested to use rank correlation measures, such as Spearman’s rho. Numerical experiments have conrmed that Spearman’s rho produces consistent values in graphs of dierent sizes but similar structure, and it is able to reveal strong (positive or negative) dependencies in large graphs. In this paper we analytically investigate degree-degree dependencies for scale-free graph sequences. In order to demonstrate the ill behaviour of the Pearson’s correlation coecient, we rst study a simple model of two heavy-tailed highly correlated random variables X and Y , and show that the sample correlation coecient converges in distribution either to a proper random variable on [ 1; 1], or to zero, and the limit is non-negative a.s. if X;Y 0. We next adapt these results to the degree-degree dependencies in networks as described by the Pearson correlation coecient, and show that it is non-negative in the large graph limit when the asymptotic degree distribution has an innite third moment. Furthermore, we provide examples where the Pearson’s correlation coecient converges to zero in a network with strong negative degree-degree dependencies, and another example where this coecient converges in distribution to a random variable. We suggest the alternative degree-degree dependency measure, based on Spearman’s rho, and prove that this statistical estimator converges to an appropriate limit under quite general conditions. These conditions are proved to hold in common network models, such as the conguration model and the preferential attachment model. We conclude that rank correlations provide a suitable and informative method for uncovering network mixing patterns.

研究の動機と目的

• 大規模で重い尾を持つネットワークにおける次数同士の依存関係を測るピアソン積率相関係数の限界を特定すること。
• 強い負の次数相関があるにもかかわらず、ピアソン係数が0または非負の値に収束する場合があることを実証すること。
• スケールフリーネットワークにおける次数同士の依存関係をより信頼性高く測定するため、スピアマンのrhoを代替手段として提案すること。
• 一般のネットワークモデル（例えば、構成モデルや優先的付加モデル）において、スピアマンのrhoが安定した極限に収束することを証明すること。
• ランクベースの相関係数を用いることで、異なるサイズのネットワーク間での混合パターンの一貫性ある比較を可能にすること。

提案手法

• 2つの重い尾を持つ、強く相関する確率変数XとYについて、標本ピアソン相関係数の漸近的挙動を分析する。
• 2変量の重い尾を持つ分布に関する理論的結果を、ランダムグラフにおける次数同士の依存関係に適応する。
• 次数分布の3次のモーメントが無限大である場合、ピアソン係数が非負の確率変数または0に分布収束することを示す。
• 次数同士の依存関係を測るためのピアソン相関の代替手段として、スピアマンのrho（順位相関）を導入する。
• 一般の条件下で、スピアマンのrhoが安定した極限に収束することを証明し、構成モデルや優先的付加モデルを含む状況でも成立することを示す。
• 理論的収束結果を用いて、大規模ネットワーク解析におけるランク相関の一貫性と信頼性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 なぜピアソン相関係数は、大規模なスケールフリーネットワークにおいて強い負の次数同士の依存関係を検出できないのか？
• RQ2 3次のモーメントが無限大であるネットワークにおいて、ピアソン相関係数が0または非負の値に収束する条件は何か？
• RQ3 スピアマンのrhoは、さまざまなサイズのネットワーク間で次数同士の依存関係を一貫して推定できるか？
• RQ4 ランダムグラフモデルにおいて、スピアマンのrhoが意味のある極限に収束するための理論的条件は何か？
• RQ5 重い尾を持つ次数分布を有するネットワークにおいて、ピアソン相関とスピアマン相関の収束特性にはどのような違いがあるか？

主な発見

• 3次のモーメントが無限大である大規模ネットワークにおいて、次数同士の依存関係のピアソン積率相関係数は、強い負の依存関係がある場合でさえ、非負の確率変数または0に分布収束する。
• 重い尾を持つ次数と強い負の混合を示すネットワークでは、ピアソン係数が0に収束する可能性があり、その結果、このような依存関係を検出できなくなる。
• スピアマンのrhoは、一般の条件下で安定した極限に収束することが示され、構成モデルや優先的付加モデルを含む状況でも成立する。
• スピアマンのrhoの収束は、さまざまなネットワークサイズにわたり安定しており、混合パターンの一貫性ある比較に適している。
• 理論的分析により、ランク相関係数がピアソン相関よりも大規模で重い尾を持つネットワークにおいてより情報量が多く信頼性が高いことが確認された。
• 本研究では、ピアソン係数が失敗する状況でも、スピアマンのrhoが一貫性があり解釈可能なネットワーク混合パターンの測定を提供することを確立した。