[論文レビュー] Degree Formulae for Grassmann Bundles, II

Hajime Kaji, Tomohide Terasoma|arXiv (Cornell University)|Aug 7, 2015

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 3被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、非特異な準射影的多様体上のグラスマンバンドルにおけるプルバックのチャーン類の閉じた公式を、元のベクトルバンドルのセグレ類を用いて表現する。主な貢献は、部分フラッグバンドルのチャウ環における新しいプルバック公式であり、バンドルの行列式が非常にアンビエントである場合にグラスマンバンドルの次数を計算可能にする。

ABSTRACT

Let $X$ be a non-singular quasi-projective variety over a field, and let $\mathcal E$ be a vector bundle over $X$. Let $\mathbb G_X({d}, \mathcal E)$ be the Grassmann bundle of $\mathcal E$ over $X$ parametrizing corank $d$ subbundles of $\mathcal E$ with projection $π: {\mathbb G_X({d}, \mathcal E)} o X$, and let $ \mathcal Q \gets π^*\mathcal E$ be the universal quotient bundle of rank $d$. In this article, a closed formula for $π_{*}\operatorname{ch} (\det \mathcal Q)$, the push-forward of the Chern character of the Plücker line bundle $\det \mathcal Q$ by $π$ is given in terms of the Segre classes of $\mathcal E$. Our formula yields a degree formula for $\mathbb G_X({d}, \mathcal E)$ with respect to $\det \mathcal Q$ when $X$ is projective and $\wedge ^d \mathcal E$ is very ample. To prove the formula above, a push-forward formula in the Chow rings from a partial flag bundle of $\mathcal E$ to $X$ is given.

研究の動機と目的

• 非特異な準射影的多様体上でのグラスマンバンドルにおけるプルバックのチャーン類の閉じた表現を導出すること。
• バンドルの行列式が非常にアンビエントである場合に、プルバック埋め込みによるグラスマンバンドルの次数公式を提供すること。
• ジョゼフィアック＝ラスコウ＝プラガッチの結果に依存せずに、部分フラッグバンドルのチャウ環における新しいプルバック公式を確立すること。
• プルバックのチャーン類をセグレ類およびシュール多項式を用いて表現し、代数的および幾何的解釈を提供すること。
• チャウ環における反対称化および生成関数の文脈で、カウチ行列式の一般化を達成すること。

提案手法

• 滑らかな多様体 $X$ 上のベクトルバンドル $\mathcal{E}$ のコランク $d$ の部分バンドルをパラメトライズするグラスマンバンドル $\mathbb{G}_X(d,\mathcal{E})$ を導入し、ランク $d$ のユニバーサル商バンドル $\mathcal{Q}$ を定義する。
• プルバック $\pi_*\operatorname{ch}(\det\mathcal{Q})$ を、チャウ環 $A^*(X) \otimes \mathbb{Q}$ 内で研究するため、プルバッククラス $\theta = c_1(\det\mathcal{Q})$ を定義する。
• 部分フラッグバンドル $\mathbb{F}_X^d(\mathcal{E})$ 上で、$\mathcal{Q}$ のチャーン根 $\xi_0,\dots,\xi_{d-1}$ を用いてプルバック公式を構成し、多項式 $F(\underline{\xi})$ のプルバックをローレンツ級数における定数項として表現する。
• 反対称化作用素 $\mathcal{A}$ とカウチ行列式恒等式を用いて、チャーン根における単項式の係数の生成関数を導出する。
• この公式を用いて、$\pi_*\operatorname{ch}(\det\mathcal{Q})$ をセグレ類およびシュール多項式を含む分割の和として表現する。
• 新しいプルバック公式を確立する：$p_*F(\underline{\xi}) = \operatorname{const}_{\underline{t}}\Big{(}\Delta(\underline{t})\prod_{i=0}^{d-1}t_i^{r-d}F(1/\underline{t})\prod_{i=0}^{d-1}s(\mathcal{E},t_i)\Big{)}$ in $A^*(X)$。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 グラスマンバンドル上でのプルバックのチャーン類の閉じた表現は何か？
• RQ2 プルバック埋め込みによるグラスマンバンドルの次数は、代数的にどのように計算できるか？
• RQ3 ジョゼフィアック＝ラスコウ＝プラガッチの公式に依存せずに、部分フラッグバンドルのチャウ環における新しいプルバック公式を導出できるか？
• RQ4 セグレ類 $\mathcal{E}$ とグラスマンバンドル $\mathbb{G}_X(d,\mathcal{E})$ 上でのチャーン類プルバックの関係は何か？
• RQ5 シュール多項式がセグレ類の関数として、グラスマンバンドルの次数公式において自然に現れる仕組みは何か？

主な発見

• 本稿は、$A^*(X) \otimes \mathbb{Q}$ 内で、非負整数 $d$-重 $k = (k_0,\dots,k_{d-1})$ の和として表される閉じた公式を提供する。この公式は、インデックスの差積および階乗を含み、セグレ類 $s_{k_i}(\mathcal{E})$ で重みづけられている。
• 多様体 $X$ が射影的で $\wedge^d\mathcal{E}$ が非常にアンビエントであるとき、グラスマンバンドル $\mathbb{G}_X(d,\mathcal{E})$ の次数は $\deg = (d(r-d)+n)! \sum_{|k|=n} \frac{\prod_{0\leq i<j\leq d-1}(k_i - k_j - i + j)}{\prod_{0\leq i\leq d-1}(r + k_i - i)!} \int_X \prod_{i=0}^{d-1} s_{k_i}(\mathcal{E})$ で与えられる。
• 別の表現として、$\pi_*\operatorname{ch}(\det\mathcal{Q})$ はシュール多項式を用いて表される：$\sum_{\lambda} \frac{1}{|\lambda + \varepsilon|!} f^{\lambda + \varepsilon} \Delta_\lambda(s(\mathcal{E}))$ であり、ここで $\varepsilon = (r-d)^d$、$f^{\lambda + \varepsilon}$ は形状 $\lambda + \varepsilon$ の標準ヤング盤の個数、$\Delta_\lambda(s(\mathcal{E}))$ はセグレ類におけるシュール多項式である。
• 部分フラッグバンドル上のプルバック公式は、反対称化と生成関数を用いて導出され、重要な恒等式 $\mathcal{A}\Big{(}\frac{\Delta(\xi_0,\dots,\xi_{d-1})\Delta(\xi_d,\dots,\xi_{r-1})}{\prod_{i,j=0}^{d-1}(\tau_j - \xi_i)}\Big{)} = \frac{\Delta(\xi_0,\dots,\xi_{r-1})}{\prod_{i,j}(\tau_j - \xi_i)}$ が成立する。
• チャーン根における単項式の係数の生成関数 $G(\underline{t})$ は、$\Delta(t_0,\dots,t_{d-1}) \prod_{i=0}^{d-1} t_i^{r-d} s(\mathcal{E}, t_i)$ に等しく、反対称化およびカウチ行列式恒等式を用いて主公式が裏付けられる。
• 証明はジョゼフィアック＝ラスコウ＝プラガッチのプルバック公式に依存せず、対称関数論および代数幾何におけるチャウ環技術に基づく、完全に自己完結的な導出を提供する。