[論文レビュー] Degree Monotone Paths

Yair Caro, Josef Lauri+1 more|arXiv (Cornell University)|May 8, 2014

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 14被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、頂点の次数が経路に沿って非減少または非増加となるような経路（次数単調経路）を導入し、それらを分析する。ギャルライロイの定理とターラン数への関連を用いて、このような経路の最大長に対する境界を確立し、$mp(G) + mp(\overline{G})$ に対するノルダウス＝ガッダム型不等式を導出し、$mp(G) \geq \chi(G)$ を証明する。さらに、最大外部平面グラフに対しては改良がなされる。主な貢献は、$mp(G) + mp(\overline{G})$ に対する鋭い下界 $2\sqrt{n}$ であり、特定のグラフ族に対してこの境界がタイトであることを示す構成も提示する。

ABSTRACT

We shall study degree-monotone paths in graphs, a problem inspired by the celebrated theorem of Erd{ő}s-Szekeres concerning the longest monotone subsequence of a given sequence of numbers. A path P in a graph G is said to be a degree monotone path if the sequence of degrees of the vertices in P in the order they appear in P is monotonic. In this paper we shall consider these three problem related to this parameter: 1. Find bounds on $mp(G)$ in terms of other parameters of $G$. 2. Study $f(n,k)$ defined to be the maximum number of edges in a graph on $n$ vertices with $mp(G) < k$. 3. Estimate the minimum and the maximum over all graph $G$ on $n$ vertices of $mp(G)+mp(\overline{G})$. For the first problem our main tool will be the Gallai-Roy Theorem on directed paths and chromatic number. We shall also consider in some detail maximal planar and maximal outerplanar graphs in order to investigate the sharpness of the bounds obtained. For the second problem we establish a close link between $f(n,k)$ and the classical Turan numbers. For the third problem we establish some Nordhaus-Gaddum type of inequalities. We conclude by indicating some open problems which our results point to.

研究の動機と目的

• 次数単調経路（頂点の次数が経路に沿って非減少または非増加となる経路）の最大長を調査すること。
• $mp(G)$、つまり次数単調経路の最大長に対する境界を、彩色数 $\chi(G)$ および他のグラフパラメータの観点から確立すること。
• $f(n,k)$、つまり長さ $k$ の次数単調経路を含まない $n$ 頂点グラフの最大辺数を研究し、ターラン数と関連づけること。
• すべての $n$ 頂点グラフに対して $mp(G) + mp(\overline{G})$ の最小値と最大値を特定し、$mp$ パラメータにノルダウス＝ガッダム型結果を拡張すること。

提案手法

• 辺の次数に基づく向き付けを用いて、彩色数と有向経路に関するギャルライロイの定理を適用し、$mp(G) \geq \chi(G)$ の下界を得る。
• 最大外部平面グラフにおける軽い辺の技法を用いて、$n \geq 5$ のとき $mp(G) \geq 4$ を示し、一般の $\chi(G)$ の境界を改善する。
• アービュソンの先行研究に基づく極値グラフの構成を通じて、$f(n,k)$ とターラン数との関連を確立する。
• 彩色数に対するノルダウス＝ガッダムの境界を応用し、$mp(G) + mp(\overline{G})$ に対する境界を導出し、$2\sqrt{n} \leq mp(G) + mp(\overline{G}) \leq 2n$ を証明する。
• 特に、互いに素なクリークとその補グラフの族を構成することで、境界のタイトさを示す。
• 極値グラフの構成を用いて、$f(n,k) \geq g(n,k)$ を示し、$n \geq \frac{(k-1)(k+2)}{2}$ のとき等号が成り立つと予想する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 次数単調経路の最大長 $mp(G)$ に対する $\chi(G)$ の観点からの最良の下界は何か？ また、最大外部平面グラフなどの特定のグラフクラスでは改善可能か？
• RQ2 $f(n,k)$、つまり長さ $k$ の次数単調経路を含まない $n$ 頂点グラフの最大辺数は、古典的ターラン数とどのように関連するか？
• RQ3 すべての $n$ 頂点グラフに対して $mp(G) + mp(\overline{G})$ のタイトな境界は何か？ また、下界 $2\sqrt{n}$ は鋭いか？
• RQ4 最大平面グラフに対して $mp(G) \geq \chi(G)$ の境界は改善可能か？ また、$mp(G) = \chi(G) = 3$ を満たす任意に大きな最大平面グラフは存在するか？
• RQ5 $f(n,k)$ は正確に $g(n,k)$、つまり次数列の和が $n$ に等しくなるようなグラフの最大辺数に等しいか？

主な発見

• すべてのグラフ $G$ に対して $mp(G) \geq \chi(G)$ が成り立ち、これは完全 $k$-部グラフ（部のサイズがすべて異なる）によって等号が達成されることで鋭い。
• 頂点数 $n \geq 5$ の最大外部平面グラフでは、$mp(G) \geq 4$ が成り立ち、これは $\chi(G)$ に基づく境界を改善するものであり、これが最良である。
• 任意に大きな最大平面グラフで $\chi(G) = mp(G) = 4$ を満たすものが存在し、このクラスでは $\chi(G)$ の境界が鋭いことを示している。
• $mp(G) + mp(\overline{G})$ は $2\sqrt{n} \leq mp(G) + mp(\overline{G}) \leq 2n$ を満たし、両方の境界が鋭い。上界は $K_n$ からハミルトン閉路を除いたグラフで達成され、下界は互いに素なクリークの構成によって近づけられる。
• $f(n,k)$、つまり長さ $k$ の次数単調経路を含まない $n$ 頂点グラフの最大辺数は、$f(n,k) \geq g(n,k)$ を満たし、著者らは $n \geq \frac{(k-1)(k+2)}{2}$ のとき等号が成り立つと予想する。
• 特定の構成により、$n$ が偶数の平方数のとき $mp(G) + mp(\overline{G}) = \frac{5\sqrt{n}}{2}$ となることが示され、$2\sqrt{n}$ の下界が常にタイトではないが、漸近的には正しいオーダーであることが示された。