[論文レビュー] Degree of complex algebraic sets under bi-Lipschitz homeomorphisms at infinity

Alexandre Fernandes, José Edson Sampaio|arXiv (Cornell University)|Jun 20, 2017

Mathematical Dynamics and Fractals被引用数 1

ひとこと要約

本稿は、外的リプシッツ同相写像の下で、複素解析的局所芽の多重度および複素アフィン集合の次数が、局所的および無限遠で不変であることを確立する。局所的設定における多重度の不変性が、グローバル設定における次数の不変性と同値であることを証明し、曲線および曲面に対してもこれを確認している。無限遠における接錐および相対多重度の解析を用いても同様である。

ABSTRACT

We study invariance of multiplicity of complex analytic germs and degree of complex affine sets under outer bi-Lipschitz transformations (outer bi-Lipschitz homeomorphims of germs in the first case and outer bi-Lipschitz homeomorphims at infinity in the second case). We prove that invariance of multiplicity in the local case is equivalent to invariance of degree in the global case. We prove invariance for curves and surfaces. In the way we prove invariance of the tangent cone and relative multiplicities at infinity under outer bi-Lipschitz homeomorphims at infinity, and that the abstract topology of a homogeneous surface germ determines its multiplicity.

研究の動機と目的

• 複素解析的局所芽の多重度が外的リプシッツ同相写像の下で不変であるかどうかを調査すること。
• 複素アフィン代数的集合の次数が、無限遠における外的リプシッツ同相写像の下で保存されるかどうかを特定すること。
• 局所的設定における多重度の不変性とグローバル設定における次数の不変性の間の対応関係を確立すること。
• このような同相写像の下で、無限遠における接錐および相対多重度の挙動を分析すること。
• 同次的曲面局所芽の抽象的位相がその多重度を決定することを示すこと。

提案手法

• 複素解析的局所芽間の外的リプシッツ同相写像を分析し、その局所不変量（多重度など）への影響を検討する。
• 複素アフィン代数的集合間の無限遠における外的リプシッツ同相写像への分析を拡張する。
• 無限遠における接錐の構造および相対多重度を用いて、次数の不変性を研究する。
• 同次的曲面局所芽の位相的不変量を応用し、多重度の不変性を導出する。
• 同じクラスの写像の下で、局所的多重度の不変性とグローバル的次数の不変性の間の同値性を確立する。
• 特にリプシッツ同値理論を用いて、実幾何および複素幾何の技法を応用し、幾何的および位相的性質を比較する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 複素解析的局所芽の多重度は、外的リプシッツ同相写像の下で不変か？
• RQ2 複素アフィン代数的集合の次数は、無限遠における外的リプシッツ同相写像の下で不変か？
• RQ3 局所的設定における多重度の不変性は、グローバル設定における次数の不変性を含意するか。逆もまた然りか？
• RQ4 無限遠における外的リプシッツ同相写像の下で、接錐および相対多重度はどのように振る舞うか？
• RQ5 同次的曲面局所芽の抽象的位相は、その多重度を決定できるか？

主な発見

• 外的リプシッツ同相写像の下で、複素解析的局所芽の多重度の不変性は、無限遠における同様の写像の下で複素アフィン集合の次数の不変性と同値である。
• 本稿は、外的リプシッツ同相写像の下で、複素曲線および曲面における多重度が不変であることを証明している。
• 無限遠における相対多重度および接錐の構造は、無限遠における外的リプシッツ同相写像の下で保存される。
• 同次的曲面局所芽に対しては、抽象的位相が多重度を一意に決定する。
• 解析により、無限遠におけるリプシッツ同値性が、次数や多重度といった重要な代数幾何的不変量を保存することが確認された。
• 本結果は、局所的特異点にとどまらず、グローバルなアフィン集合へと、複素代数幾何におけるリプシッツ不変量の理解を拡張する。