[論文レビュー] Degree of entanglement for two qutrits in a pure state

José L. Cereceda|ArXiv.org|May 8, 2003

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 1被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、2つのキューブリットが純粋状態に处于する場合の、エンタングルメントの新しい不変測度を導入する。これは2キュービットのconcurrenceを一般化したものである。この測度は、スミット係数に基づいて定義され、0（分離状態）から1（最大エンタングル状態）の範囲をとる。本稿では、特にスリム状態において、従来の測度がエンタングルメントを最大50％まで低く見積もってしまうのに対し、この測度が正しくエンタングルメントを定量化できることを示している。

ABSTRACT

In this paper, a new measure of entanglement for general pure bipartite states of two qutrits is formulated.

研究の動機と目的

• 2キューブリットの純粋状態における物理的に意味のある不変エンタングルメント測度を開発すること。
• 2キュービットのconcurrenceを、特に3×3系を含む高次元系に一般化すること。
• 最大エンタングル状態においてエンタングルメントを低く見積もってしまう、従来のエンタングルメント測度の不整合を解消すること。
• 測度がエンタングルメントとともに単調増加し、0から1の範囲をとることを保証すること。

提案手法

• エンタングルメント測度は、2キューブリットの純粋状態のスミット分解を用いて定義され、スミット係数κ₁, κ₂, κ₃が用いられる。
• 測度はC = √(3(κ₁²κ₂² + κ₁²κ₃² + κ₂²κ₃²))として定式化され、d=3におけるキュービットのconcurrenceを一般化する。
• 測度が局所ユニタリ操作に対して不変であり、0（状態が分離）から1（最大エンタングル状態）の範囲をとることを示している。
• 著者らは、以前に提案された測度（P_E）と比較し、P_Eが特にスリム状態においてエンタングルメントを低く見積もることを実証している。
• 測度はd次元系（クイディット）へと拡張され、一般形としてC = √[(2d/(d−1)) × Σᵢ<ⱼ κᵢ²κⱼ²]が得られる。
• 1つのスミット係数がゼロである状態のエンタングルメントの形成について導出され、既知の値と整合的であることが確認された。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2キューブリットの純粋状態におけるconcurrenceの正しい一般化は何か？
• RQ2 なぜ従来のエンタングルメント測度は、最大エンタングル状態の2キューブリット状態におけるエンタングルメントを正しく定量化できないのか？
• RQ3 局所ユニタリ操作に対して不変であり、0から1の範囲をとるエンタングルメント測度をどのように構築できるか？
• RQ4 特殊なクラスの2キューブリット状態について、提案された測度からエンタングルメントの形成が一貫して導出可能か？
• RQ5 本稿の測度は、参照文献[17]で提案されたものと比較して、定量的にどのように異なるか？

主な発見

• 提案された測度Cは、2キューブリットの最大エンタングル状態において、すべてのスミット係数が等しい（κᵢ = 1/√3）場合に、正しく1を割り当てる。
• スリム状態|ψₛ⟩ = (1/√2)(|1,1⟩ + |2,2⟩)に対して、新しい測度はC = √3/2 ≈ 0.866を算出し、最大エンタングルメントを正しく反映している。
• 従来の測度P_Eは、同じ状態に対してP_E = 0.5しか算出せず、エンタングルメントが著しく低く見積もられている（0.44 ebitsだが1 ebitであるべき）。
• 新しい測度は、すべての必要な性質を満たしている：局所ユニタリ操作に対して不変であること、エンタングルメントとともに単調増加すること、および端的な値（分離状態では0、最大エンタングル状態では1）を正しくとること。
• d次元系への一般化により、d=2およびd=3の既知の形に還元される一貫性のあるconcurrenceの公式が得られる。
• 1つのスミット係数がゼロである2キューブリット状態のエンタングルメントの形成が導出され、ヴォイナム・エントロピー測度と整合的であることが示された。