[論文レビュー] Dehn surgery, the fundamental group and SU(2)

P. B. Kronheimer, Tomasz Mrowka|ArXiv.org|Dec 17, 2003

Geometric and Algebraic Topology参考文献 10被引用数 17

ひとこと要約

本稿は、3次元球面内の非自明な絡み目に対して、|r| ≤ 2 であるDehn surgeryにより得られる3次元多様体の基本群が、SU(2) への非巡回な準同型をもつことを証明する。証明は、インスタントンフローホモロジーに依存せずに、Chern-Simons汎関数のホロノミー摂動とゲージ理論的技法を用い、このような多様体が巡回的基本群をもつことはできないことを示す。これは、|r| ≤ 2 の場合の性質Pの独立的検証を提供する。

ABSTRACT

Let K be a non-trivial knot in the 3-sphere and let Y(r) be the 3-manifold obtained by surgery on K with surgery-coefficient a rational number r. We show that there is a homomorphism from the fundamental group of Y(r) to SU(2) with non-cyclic image if r is less than or equal to 2.

研究の動機と目的

• 非自明な絡み目に対する |r| ≤ 2 のDehn surgeryが、非巡回基本群をもつ3次元多様体を生成することを確立すること。
• このような手術に対して、π₁(Y_r) から SU(2) への非巡回準同型の存在を、巡回手術定理に依存せずに示すこと。
• インスタントンフローホモロジーに依存せずに、|r| ≤ 2 の手術における性質Pのゲージ理論的証明を提供すること。
• Dehn surgeriesにおける巡回基本群と、非アーベルSU(2)表現の不在との違いを明確にすること。

提案手法

• 3次元多様体上のSU(2)接続におけるChern-Simons汎関数に、絡み目の周囲のチューブ状近傍を用いて摂動関数を定義するホロノミー摂動を適用する。
• SU(2) 上のクラス関数 φ と積分が 1 である2形式 μ を用いて、摂動されたChern-Simons汎関数 Φ(A) = ∫_D φ(Hol_γ_z(A)) μ(z) を構成する。
• 摂動された汎関数 CS + Φ の臨界点を分析し、非巡回モノドロミーをもつ平坦接続が非自明なSU(2)表現に対応することを示す。
• Uhlenbeckのコンパクト性と摂動論を用いて、手術多様体を二重化して得られる4次元多様体上にDonaldson不変量を定義する。
• 文献[13]の結果を適用し、代表的多様体 R^w_ι,φ(Y₀) が空集合であれば、その4次元多様体のDonaldson不変量は消えることを利用する。
• これに加えて、[17]のシンプレクティック4次元多様体の構成とWittenの予想を組み合わせ、基本群が巡回的であると仮定すると矛盾が生じることを導く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非自明な絡み目に対する |r| ≤ 2 のDehn surgeryは、巡回基本群をもつ3次元多様体を生成するか？
• RQ2 そのような手術多様体の基本群は、SU(2) への非巡回準同型をもつことができるか？
• RQ3 |r| ≤ 2 の手術における性質Pのゲージ理論的証明は、インスタントンフローホモロジーに依存せずに可能か？
• RQ4 基本群が巡回的であることと、Dehn surgeriesにおける非アーベルSU(2)表現の存在との関係は何か？

主な発見

• 任意のS³内の非自明な絡み目Kに対して、|r| ≤ 2 のDehn surgeryにより得られる3次元多様体Y_rの基本群π₁(Y_r)は、SU(2) への非巡回準同型をもつ。
• 0-手術Y₀に対して、代表的多様体 R^w_ι,φ(Y₀) が空集合であることと、二重化された4次元多様体のDonaldson不変量が消えることは同値である。
• 証明は、|r| ≤ 2 でπ₁(Y_r)が巡回的であると仮定すると、Donaldson不変量が消えるが、これはシンプレクティック4次元多様体におけるSeiberg-Witten不変量の非自明性に矛盾することを示している。
• この結果は、Culler, Gordon, Luecke, および Shalen の巡回手術定理に依存せずに、|r| ≤ 2 の手術における性質Pの独立的検証を提供する。
• (-2,3,7)プレッツェル絡み目の例は、|r| > 2 の手術が、非巡回基本群をもつが非アーベルSU(2)表現をもたない多様体を生成しうることを示している。
• 本稿は、Dehn surgeriesにおいて、非アーベルSU(2)表現の不在が、巡回基本群よりも強い条件であることを確立している。