[論文レビュー] Del Pezzo surfaces with Du Val singularities

Dimitra Kosta|ArXiv.org|Apr 6, 2009

Geometry and complex manifolds参考文献 17被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、Du Val特異点をもつ1次元のデル・ペッツォ表面およびピカール群がℤであるデル・ペッツォ表面について、ケーラー＝アインシュタイン計量の存在を決定し、グローバルな対数正則特異点閾値を計算する。特異点理論および対数正則特異点閾値解析を用いて、A₄、A₃、A₁特異点の特定の配置が、グローバル対数正則特異点閾値が1/2を超える場合にケーラー＝アインシュタイン計量を許容することを確立する。

ABSTRACT

In this paper we study the problem of existence of orbifold Kaehler-Einstein metrics on del Pezzo surfaces of degree 1 with Du Val singular points. Moreover we compute global log canonical thresholds of del Pezzo surfaces of degree 1 with Du Val singularities and of del Pezzo surfaces of Picard rank 1 with Du Val singularities.

研究の動機と目的

• 1次元でDu Val特異点をもつデル・ペッツォ表面のうち、ケーラー＝アインシュタイン計量を許容するものを探す。
• 1次元でDu Val特異点をもつデル・ペッツォ表面のグローバル対数正則特異点閾値を計算する。
• ピカール群がℤでDu Val特異点をもつデル・ペッツォ表面へのグローバル対数正則特異点閾値の計算を拡張する。
• ケーラー＝アインシュタイン計量の存在に適する特異点配置（例：A₄、A₃、A₁）を分類する。
• |−K_X|内に存在するカスプ曲線の役割が、対数正則特異点閾値を決定する仕組みを分析する。

提案手法

• Fano多様体にDu Val特異点をもつ場合に、特異点理論からの対数正則特異点閾値枠組みを適用する。
• Fano多様体がケーラー＝アインシュタイン計量をもつための基準として、そのグローバル対数正則特異点閾値がn/(n+1)を超えること（nは次元）を用いる。
• |−K_X|の構造を解析して、カスプ曲線およびその特異点（A₁、A₂、A₃、A₄）を特定する。
• 乖離度および divisorial 値関数を用いた特異点の解析により、対数正則特異点閾値を計算する。
• Dynkin図（Aₙ、Dₙ、Eₙ）を用いて特異点を分類し、カスプ曲線の存在および種別に基づいて閾値を計算する。
• 滑らかで低次元のデル・ペッツォ表面の既知の結果を、閾値計算のベンチマークとして用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1次元でDu Val特異点をもつデル・ペッツォ表面のうち、どのものがケーラー＝アインシュタイン計量を許容するか？
• RQ2 与えられたDu Val特異点配置をもつ1次元のデル・ペッツォ表面のグローバル対数正則特異点閾値は何か？
• RQ3 |−K_X|内のカスプ曲線の特異点が、グローバル対数正則特異点閾値にどのように影響するか？
• RQ4 ピカール群がℤでDu Val特異点をもつデル・ペッツォ表面のグローバル対数正則特異点閾値は何か？
• RQ5 特異点およびアンチCanonical線形系統にどのような条件下で、グローバル対数正則特異点閾値が1/2を超えるか？これによりケーラー＝アインシュタイン計量の存在が保証される。

主な発見

• A₄、A₄+A₄、A₄+A₃、A₄+2A₁、A₄+A₁、A₃+4A₁、A₃+3A₁、2A₃+2A₁、A₃+2A₁、A₃+A₁、2A₃、およびA₃特異点をもつ1次元のデル・ペッツォ表面は、ケーラー＝アインシュタイン計量を許容する。
• |−K_X|にカスプ曲線がなく、特異点がA₃または2A₃である場合、グローバル対数正則特異点閾値は1である。
• |−K_X|にA₁特異点をもつカスプ曲線が含まれるがA₂特異点が存在しない場合、閾値は3/4である。
• |−K_X|にA₂特異点をもつカスプ曲線が含まれる場合（他の特異点の有無にかかわらず）、閾値は2/3である。
• |−K_X|にA₁またはA₂以外の特異点をもつカスプ曲線が含まれる場合、閾値は5/6である。
• ピカール群がℤであるデル・ペッツォ表面では、|−K_X|にカスプ曲線が存在しない場合、グローバル対数正則特異点閾値は1であり、A₁またはA₂以外の特異点をもつカスプ曲線が含まれる場合は5/6である。