[論文レビュー] Delaunay hypersurfaces with constant nonlocal mean curvature

Xavier Cabré, Mouhamed Moustapha Fall+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 8, 2016

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 20被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、$N \geq 2$ における $\mathbb{R}^{N}$ 内で、一定の非局所平均曲率を持つ滑らかで1パラメータ族の周期的デローラン型超曲面が、直線の円筒から分岐することを確立する。非局所平均曲率方程式を準線形分数階楕円型偏微分方程式として扱い、クランダル＝ラビノヴィッツの分岐定理を用いて、直線の円筒に近い滑らかで偶関数の周期的解の存在を証明する。解の周期は、摂動パラメータが0に近づくにつれて $2\pi$ に収束する。

ABSTRACT

We study hypersurfaces of $\mathbb{R}^N$ with constant nonlocal (or fractional) mean curvature. This is the equation associated to critical points of the fractional perimeter functional under a volume constraint. We establish the existence of a smooth branch of periodic cylinders in $\mathbb{R}^N$, $N\geq 2$, all of them with the same constant nonlocal mean curvature, and bifurcating from a straight cylinder. These are Delaunay type cylinders in the nonlocal setting. The proof uses the Crandall-Rabinowitz theorem applied to a quasilinear type fractional elliptic equation.

研究の動機と目的

• $N \geq 2$ における $\mathbb{R}^N$ 内で、古典的デローラン曲面の非局所版として、一定の非局所平均曲率を持つ周期的超曲面の存在を確立すること。
• 既存の $\mathbb{R}^2$ における結果を高次元に拡張し、直線の円筒から分岐する滑らかな周期的シリンダーの族を構成すること。
• これらの非局所デローラン超曲面が滑らかで周期的であり、直線の円筒に近づくにつれて周期が $2\pi$ に収束することを証明すること。
• 非局所境界長最小化の文脈において、分数階平均曲率方程式に対する厳密な分岐解析を提供すること。

提案手法

• 非局所平均曲率の主値積分定義を用いて、非局所平均曲率方程式を準線形分数階楕円型偏微分方程式として定式化する。
• 超曲面を $E_u = \{(s,\zeta) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R}^{N-1} : |\zeta| < u(s)\}$ の形（$u$ は周期的で正の関数）として回転対称なシリンダーとして定義する。
• 非局所平均曲率方程式から導かれる非線形作用素に、摂動パラメータ $a$ を分岐変数として用いてクランダル＝ラビノヴィッツの分岐定理を適用する。
• 直線の円筒の近傍で、非局所平均曲率作用素 $H: C^{1,\beta}(\mathbb{R}) \to C^{0,\beta - \alpha}(\mathbb{R})$ が $C^\infty$-滑らかであることを示し、必要な正則性とコンパクト性を確立する。
• ホーラー推定と積分核の分解を用いて、非局所平均曲率作用素およびその微分の正則性を制御する。
• 解の対称性と偶関数性を活用し、分岐する分岐枝が最小周期 $2\pi / \lambda(a)$ の偶関数で構成されることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $N \geq 2$ における $\mathbb{R}^N$ 内で、古典的デローラン曲面に類似した、一定の非局所平均曲率を持つ滑らかな1パラメータ族の周期的超曲面を構成できるか？
• RQ2 クランダル＝ラビノヴィッツの分岐定理は、高次元における非局所平均曲率方程式に適用可能であり、このような周期的解を導くか？
• RQ3 分岐する解の周期が直線の円筒に近づくにつれてどのように振る舞うか？
• RQ4 非局所平均曲率作用素の正則性は、分岐する解の滑らかさにどのように影響するか？
• RQ5 非局所平均曲率方程式は、分岐解析を可能にする準線形分数階楕円型偏微分方程式として扱えるか？

主な発見

• 任意の $\alpha \in (0,1)$ に対して、半径 $R > 0$ が存在し、直線の円筒 $\{ |\zeta| < R \}$ から分岐する $C^\infty$-滑らかな周期的シリンダー族 $E_{u_a}$ が $\mathbb{R}^N$ ($N \geq 2$) 内に存在する。ここで $u_0 \equiv R$ である。
• 分岐する解 $u_a$ は偶関数で周期的であり、最小周期は $2\pi / \lambda(a)$ である。$\lambda(0) = 1$ であるため、$a \to 0$ のとき周期は $2\pi$ に収束する。
• 分岐族に属するすべての超曲面は、直線の円筒と同じ一定の非局所平均曲率を持つ。この曲率は分岐の過程で保存される。
• 非局所平均曲率作用素 $H$ が $C^{1,\beta}(\mathbb{R})$ 上で $C^\infty$-滑らかであることが示され、高次元分岐理論の適用が可能になる。
• 直線の円筒における線形化作用素の核が $\cos(s)$ で生成され、クランダル＝ラビノヴィッツの定理に必要な横断性条件を満たすことが証明された。
• 曲線 $a \mapsto \lambda(a)$ および $a \mapsto u_a$ が滑らかであることが示され、振幅および周期パラメータの両方において、分岐族の $C^\infty$-正則性が確認された。