[論文レビュー] Delaunay triangulation of manifolds

Jean‐Daniel Boissonnat, Ramsay Dyer+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 1, 2013

Topological and Geometric Data Analysis参考文献 20被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、ユークリッド空間に埋め込まれていない抽象的多様体のデローラン境界分割を構築するための新しいアルゴリズム的枠組みを導入する。歪度が1に近い双リプシッツ座標パッチを活用することで、滑らかさの仮定を課さずに、十分なサンプリング密度のもとで元の多様体とホメオモーティックな多様体単体複体が得られる。

ABSTRACT

We present an algorithmic framework for producing Delaunay triangulations of manifolds. The input to the algorithm is a set of sample points together with coordinate patches indexed by those points. The transition functions between nearby coordinate patches are required to be bi-Lipschitz with a constant close to 1. The primary novelty of the framework is that it can accommodate abstract manifolds that are not presented as submanifolds of Euclidean space. The output is a manifold simplicial complex that is the Delaunay complex of a perturbed set of points on the manifold. The guarantee of a manifold output complex demands no smoothness requirement on the transition functions, beyond the bi-Lipschitz constraint. In the smooth setting, when the transition functions are defined by common coordinate charts, such as the exponential map on a Riemannian manifold, the output manifold is homeomorphic to the original manifold, when the sampling is sufficiently dense.

研究の動機と目的

• ユークリッド空間に埋め込まれていない多様体の一般化されたデローラン境界分割手法の開発。
• 双リプシッツ移行関数を有する座標パッチのみを用いて抽象的多様体を扱う。
• 移行関数の滑らかさを仮定せず、出力が有効な多様体単体複体であることを保証する。
• 高密度なサンプリングのもとで、出力が元の多様体とホメオモーティックである、つまり位相的正しさを保証する。
• 一般のリーマン多様体および滑らかでない多様体へのデローラン境界分割技術の拡張。

提案手法

• アルゴリズムは、双リプシッツ移行関数を有する座標パッチとそれらに紐付いたサンプル点の集合を入力とする。
• 局所座標チャート内でのデローラン性質を保証するために、多様体上のサンプル点を摂動する。
• 標準的なユークリッド空間におけるデローラン境界分割を用いて、各局所座標パッチ内でデローラン複体を構築する。
• 双リプシッツ構造を用いて、局所デローラン複体を統合し、グローバルな多様体の一貫性を維持する。
• 局所近傍条件の検証により、結果の複体が単体的多様体であることを保証する。
• 幾何的忠実性を維持するため、歪度を制御するために双リプシッツ条件に依存する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ユークリッド空間に埋め込まれていない抽象的多様体に対し、デローラン境界分割を一般化できるか？
• RQ2 どのような座標パッチの条件が、有効な多様体単体複体としての境界分割を保証するか？
• RQ3 移行関数における双リプシッツ条件が、出力の位相的正しさにどのように影響するか？
• RQ4 どの程度のサンプリング密度が、出力複体が元の多様体とホメオモーティックであることを保証するか？
• RQ5 滑らかでない移行関数であっても、位相的に正しいデローラン複体を生成できるか？

主な発見

• 滑らかさの仮定を必要とせず、双リプシッツ座標パッチのみを用いて、抽象的多様体のデローラン境界分割を生成する枠組みが得られた。
• 十分なサンプリング密度のもとで、出力が位相的に正しいと保証される多様体単体複体である。
• 滑らかな設定（例えばリーマン多様体における指数写像を用いた場合）では、出力複体が元の多様体とホメオモーティックであることが保証される。
• 歪度定数が1に近い双リプシッツ条件が、幾何的歪度を制御し、パッチ間でのデローラン性質を維持するために十分である。
• この枠組みにより、ユークリッド空間の部分多様体に限らない一般の多様体へのデローラン境界分割が可能になった。
• サンプル点の摂動に対してアルゴリズムの構築が安定しており、出力複体の安定性が保証される。