[論文レビュー] Delay-robust control design for two heterodirectional linear coupled hyperbolic PDEs

Jean Auriol, Ulf Jakob F. Aarsnes+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 13, 2017

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 43被引用数 81

ひとこと要約

本論文は、近接反射を打ち消すことによる二つの結合ハイパボリックPDEの有限時間安定化が遅延ロバスト性を破壊し得ることを示し、少しの反射を保持する遅延ロバストな制御設計を提案する。さらに、ロバスト性を分析するために系を分散遅延中立方程式として再構成する。

ABSTRACT

We detail in this article the necessity of a change of paradigm for the delay-robust control of systems composed of two linear first order hyperbolic equations. One must go back to the classical trade-off between convergence rate and delay-robustness. More precisely, we prove that, for systems with strong reflections, canceling the reflection at the actuated boundary will yield zero delay-robustness. Indeed, for such systems, using a backstepping-controller, the corresponding target system should preserve a small amount of this reflection to ensure robustness to a small delay in the loop. This implies, in some cases, giving up finite time convergence.

研究の動機と目的

• 二つの異方向性線形ハイパボリックPDEにおいて、収束速度と遅延ロバスト性のバランスを取る必要性を動機づける。
• 近接反射を打ち消すことが小さな遅延に対する遅延マージンをなくしてしまうことを示す。
• 近接反射の一部を保持する遅延ロバストなバックステッピングベースの制御設計を開発する。
• 二つのPDE系を分散遅延を持つ中立系として再構成し、ロバスト性を分析する。

提案手法

• 境界結合輸送PDEの開ループ伝達関数を分析し、遅延ロバスト性条件を導出する。
• バックステッピングを用いて元の系を分散遅延中立形のターゲット系に写像する。
• 反射ゲイン（proximal および distal）を遅延ロバスト安定化を決定する条件を導出する。
• proximal反射の一部を保持することによって収束速度と遅延ロバスト性をトレードオフするように、調整された制御則を提案する。
• 小さな遅延の下で調整されたターゲット系の指数安定性を確立し、構成的な制御器を提供する。
• チュートリアル的な二つの輸送方程式の例でアプローチを説明し、一般の結合ハイパボリックPDEへ拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 バックステッピングベースの制御が、二つの異方向性線形ハイパボリックPDEを小さな遅延に対してロバストに安定化できるか？
• RQ2 proximalおよび distal の反射ゲインは遅延ロバスト安定化においてどのような役割を果たすか？
• RQ3 遅延ロバスト性のために有限時間収束をトレードオフするようにターゲット系を設計するにはどうすればよいか？
• RQ4 遅延の解析を容易にするために、二つのPDE系を分散遅延中立系として再構成できるか？

主な発見

• proximal reflections を完全に打ち消すことによる有限時間安定化は、特定の系で遅延ロバスト性をゼロにする。
• 開ループ利得 |ρq| ≥ 1 の場合、系は遅延ロバスト安定化できない。
• |ρq| < 1 の場合、proximal反射の一部を保持するよう制御則を変更することで遅延ロバスト安定化が可能になる。
• バックステッピングに基づく再構成は二つのPDE系を分散遅延中立系へ写像し、遅延解析を可能にする。
• パラメータKを調整可能とした修正制御則は、|ρq| < 1 のとき遅延ロバストな指数安定化を達成でき、収束速度と遅延ロバスト性のトレードオフを可能にする。
• この枠組みは、単純な二輸送の例から一般的な二結合ハイパボリックPDEの場合へ拡張される。