[論文レビュー] Delayed instabilities in viscoelastic solids through a metric description

Erez Y. Urbach, Efi Efrati|arXiv (Cornell University)|Nov 26, 2017

Sports Dynamics and Biomechanics被引用数 3

ひとこと要約

本論文は、時間的に変化する基準長を用いて粘弾性固体をモデル化する、度合いに基づくフレームワークを導入し、遅延不安定性の定量的予測を可能にする。材料の応力緩和を動的基準計量として扱うことで、エラストマーのシェルのような見かけ上安定な粘弾性構造が突然破壊するタイミングと理由を予測する理論が構築され、ポッパーとスナップスルー挙動に関する実験データと非常に良好に一致する。

ABSTRACT

While determining the stability of an unconstrained elastic structure is a straightforward task, this is not the case for viscoelastic structures. Seemingly elastically stable conformations of viscoelastic structures may gradually creep until stability is lost, and conversely, creeping does not necessarily imply that a structure will eventually become unstable. Understanding instabilities in viscoelastic structures requires a more intuitive description of viscoelasticity to allow analytical results and quantitative predictions. In this work we put forward a metric description of viscoelasticity in which the continua is characterized by temporally evolving reference lengths with respect to which elastic strains are measured. Formulating the three dimensional theory using metric tensors we are able to predict which structures will exhibit delayed instability due to viscoelastic flow. We also quantitatively describe the viscoelastic relaxation in free standing structures including cases where the relaxation leads to no apparent motion. We demonstrate these results and the power of the metric approach by elucidating the subtle mechanism of delayed instability in elastomer shells showing quantitative agreement with experimental measurements.

研究の動機と目的

• 粘弾性固体における遅延不安定性を予測する直感的で解析的なツールの不足に応えること。標準的な構成モデルではしばしば見過ごされる現象である。
• 記憶核や複雑なシミュレーションに依存せずに、内部応力の遅い散逸的変化を物理的に解釈可能なフレームワークとして捉えること。
• 連続的な内部応力緩和が続くにもかかわらず、運動が停止したままの粘弾性構造がなぜ存在するのかを説明すること。これは古典的弾性論では説明できない現象である。
• 一定変形下における薄い粘弾性シェルの安定的・不安定的・準安定的挙動の遷移を定量的に予測すること。
• エラストマーのポッパーを用いた実験的検証により、理論的予測と観測されたスナップスルー時間および安定性段階との精密な一致を示すこと。

提案手法

• 時間的に変化する基準計量 $\bar{g}_{ij}(t)$ を用いて、弾性応答を材料の内部緩和状態として記述する、粘弾性の計量的記述を導入する。
• 即時の基準長 $\bar{g}_{ij}$ を、現在の配置 $g_{ij}$ に向けて進化する動的変数として定義し、材料パラメータ $\beta$ によって制御される緩和時間定数を持つ。
• 修正された構成則を用いて応力テンソルを定式化する：$S^{ij}(t) = C^{ijkl} \left( \varepsilon_{kl}(t) + \beta \int_{-\infty}^{t} \dot{\phi}(t-s) \varepsilon_{kl}(s) ds \right)$、ここで $\varepsilon_{kl} = \frac{1}{2}(g_{kl} - \bar{g}_{kl})$。
• 粘弾性応答を、基準計量 $\bar{g}_{ij}$ が現在の配置 $g_{ij}$ に向かって連続的にクリープするものとしてモデル化し、系が定常状態 $\bar{g}^{\text{stat}} = \beta g + (1 - \beta)\bar{g}^0$ に近づくようにする。
• 自由に支持された薄いシェル（例：円錐形ポッパー）に理論を適用し、進化する $\bar{g}_{ij}$ に基づいてエネルギー障壁と安定性を計算し、遅延スナップスルーの予測を可能にする。
• 応力緩和の実験的測定を用いて $\beta = 0.0928 \pm 0.0077$ をキャリブレーションし、50個の異なるポッパーにおける予測された安定性段階と観測されたスナップスルー時間とを比較する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 連続的な内部応力緩和が行われるにもかかわらず、なぜ一部の粘弾性構造が運動を停止したまま保たれるのか？
• RQ2 一定変形下における粘弾性シェルの安定的・不安定的・準安定的挙動の遷移を決定するのは何か？
• RQ3 物理的に直感的なフレームワークを用いて、エラストマーのポッパーにおけるスナップスルーのような遅延不安定性をどのように定量的に予測できるか？
• RQ4 時間的に変化する基準計量 $\bar{g}_{ij}$ は、ゼロ荷重下での応力緩和とクリープを含め、完全な粘弾性応答をどれほど正確に捉えられるか？
• RQ5 薄いシェルにおいて、安定と不安定な領域の境界付近でスナップスルー時間の発散を、計量的アプローチが予測できるか？

主な発見

• 理論は、粘弾性系が局所的に安定状態に急激に達した場合でも、内部応力が変化し続けるにもかかわらず、系の基準計量 $\bar{g}_{ij}$ が常に調整され、ネット変形を引き起こさないため、無期限に静止し続ける可能性があると予測する。
• 実験的応力緩和測定により $\beta = 0.0928 \pm 0.0077$ が得られ、円錐形ポッパーにおける安定性段階の定量的予測が可能になった。
• モデルは、幾何学的パラメータ $r_{\text{min}}/h$ と $r_{\text{max}}/r_{\text{min}}$ を用いて、エラストマーのポッパーにおける三つの明確な安定性段階（安定・不安定・準安定）を正確に予測する。
• 50個の異なるポッパーに関する実験データは、理論的段階境界と非常に良好に一致しており、計量フレームワークの予測能力が実証された。
• 理論は、ポッパーおよびバケツバエの口の開閉におけるスナップスルーの直前の遅いクレープ運動を、$\bar{g}_{ij}$ が現在の配置に向かってゆっくりと進化する結果として説明できる。
• モデルは、遅延不安定性が、現在の形状と材料の進化する応力自由状態との間の「不満足」に起因することを明らかにし、基準計量 $\bar{g}_{ij}$ が粘弾性履歴の状態変数として機能することを示している。