[論文レビュー] Delayed Recursive State and Input Reconstruction

Roshan A. Chavan, Harish J. Palanthandalam‐Madapusi|arXiv (Cornell University)|Sep 21, 2015

Fault Detection and Control Systems参考文献 26被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、線形力学的システムにおける同時状態と未知入力の再構成のための遅延付き再帰的フィルタを提案する。現在の測定値を用いて、時間遅れを伴って過去の状態と入力を推定する。主な貢献は、フィルタの収束に関する必要十分条件を、システムの多変数ゼロに結びつけることであり、既存の不偏最小分散フィルタを一般化し、$CH$ のフル・カラム・ランクという制限的な仮定を緩和する。この手法は正方行列および非正方行列の両方のシステムに適用可能であり、システムのゼロが安定でかつ非最小位相である場合、漸近的収束を保証する。

ABSTRACT

The unknown inputs in a dynamical system may represent unknown external drivers, input uncertainty, state uncertainty, or instrument faults and thus unknown-input reconstruction has several wide-spread applications. In this paper we consider delayed recursive reconstruction of states and unknown inputs for both square and non-square systems. That is, we develop filters that use current measurements to estimate past states and reconstruct past inputs. We further derive necessary and sufficient conditions for convergence of filter estimates and show that these convergence properties are related to multivariable zeros of the system. With the help of illustrative examples we highlight the key contributions of this paper in relation with the existing literature. Finally, we also show that existing unbiased minimum-variance filters are special cases of the proposed filters and as a consequence the convergence results in this paper also apply to existing unbiased minimum-variance filters.

研究の動機と目的

• 未知入力と状態推定に必要な $CH$ がフル・カラム・ランクを満たす必要があるという、既存フィルタの制限を解消すること。
• 測定値を現在時刻 $k$ までに利用して、遅れ $r$ を伴って過去の状態と入力を再帰的に推定すること。
• フィルタの収束に関する必要十分条件を確立し、収束をシステムの多変数ゼロの位置と結びつけること。
• 既存の不偏最小分散フィルタが $r=0$ の場合に本提案フレームワークの特殊ケースとして回復できることを示すこと。
• 非正方システムにおいて $CH$ がフル・カラム・ランクでない場合に適用可能な、遅延付き入力および状態再構成の理論的基盤を提供すること。

提案手法

• 時刻 $k$ までに得た測定値を用いて、遅れ時刻 $k-r$ における状態 $\hat{x}_{k-r|k}$ と入力 $\hat{e}_{k-r-1|k}$ を再帰的に推定するフィルタを定式化する。
• 最小分散基準に基づきフィルタゲイン $L_k$ を導出する。不偏性を保証するための条件 $L_k C H = H$ を満たす。
• システムのダイナミクス $x_{k+1} = A x_k + H e_k$ を用いて、状態推定値を $k-r-1$ から $k$ まで予測ステップで前進させる。
• 入力再構成を $\hat{e}_{k-r-1} = (CH)^{-1}(y_k - C \hat{x}_{k|k-1})$ として構築する。これは $CH$ が可逆である場合に有効である。
• 遅れ $r$ を導入することで、$CH$ がフル・カラム・ランクでない場合でも、過去の状態と入力を推定可能となり、より広範なシステム適用性を実現する。
• 正方および非正方システムの両方にフィルタを適用し、システムの不変ゼロに基づいて収束条件を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 現在の出力測定値から、過去の状態と未知入力を再帰的に再構成できる条件は何か？
• RQ2 再構成遅れ $r$ は、フィルタの収束性および安定性にどのように影響するか？
• RQ3 フィルタの収束とシステムの多変数ゼロの関係は何か？
• RQ4 既存の不偏最小分散フィルタは、本提案の遅延付きフィルタフレームワークの特殊ケースとして回復可能か？
• RQ5 $CH$ がフル・カラム・ランクでない非正方システムにおいて、不偏性および収束のための必要十分条件は何か？

主な発見

• システムの多変数ゼロが安定で非最小位相である場合、過去の状態と入力の不偏推定が可能であり、収束が保証される。
• 正方システムでは、収束の十分条件は非最小位相ゼロが存在しないことと等価であり、フィルタ性能がシステムの構造的特性と直接的に関連づけられる。
• システムに安定な不変ゼロが存在する場合、フィルタは漸近的に収束する。不安定または非最小位相ゼロが存在する場合、収束は失敗する。
• 本提案フィルタは、既存の不偏最小分散フィルタを一般化しており、$r=0$ かつ $CH$ が可逆である場合にそれらが特殊ケースとして回復される。
• 再構成遅れ $r$ はユーザーが選択するのではなく、システムの構造的特性によって決定され、システムのゼロに基づいて上界が導出される。
• 数値例により、$CH$ がフル・ランクでない非正方システムにおいて、従来手法が失敗する状況でも入力再構成が成功することが示された。