[論文レビュー] Deligne Cohomology for Orbifolds, discrete torsion and B-fields

Ernesto Lupercio, Bernardo Uribe|ArXiv.org|Jan 23, 2002

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 5被引用数 4

ひとこと要約

本稿は滑らかなエタール群コホロジーを用いて、軌道多様体のデリーニュコホロジーを導入し、第3デリーヌコホロジー群 $ H^3(\textsf{G}, π(3)_D^∞) $ が軌道多様体上の接続付きゲルベを分類することを示している。このゲルベからインertia群コホロジー上の平坦な線束へのホロノミー写像を構成し、ルアンの内部局所系を実現するとともに、タイプII超弦理論における $ B $-場と離散的ねじれを、デリーヌコホロジー類として統一的に扱う。

ABSTRACT

In this paper we introduce the concept of Deligne cohomology of an orbifold. We prove that the third Deligne cohomology group of a smooth étale groupoid classify gerbes with connection over the groupoid. We argue that the $B$-field and the discrete torsion in type II superstring theories are special kinds of gerbes with connection, and finally, for each one of them, using Deligne cohomology we construct a flat line bundle over the inertia groupoid, namely a Ruan inner local in the case of an orbifold.

研究の動機と目的

• 滑らかなエタール群コホロジー $ \textsf{G} $ を用いて、接続付きゲルベを含むようにフレームワークを拡張することで、軌道多様体のデリーヌコホロジーを定義すること。
• タイプII超弦理論における $ B $-場と離散的ねじれを、第3デリーヌコホロジー群 $ H^3(\textsf{G}, π(3)_D^∞) $ の類として統一すること。
• 軌道多様体上の接続付きゲルベから、そのインertia群コホロジー上の平坦な線束へのホロノミー写像を構成すること。
• このホロノミー写像の像としてルアンの内部局所系を実現し、デリーヌコホロジーの観点から幾何的・位相的解釈を与えること。
• ホロノミー構成をすべてのデリーヌコホロジー群に一般化し、軌道多様体上のグロモフ＝ウィトテン不変量への関連性を示唆すること。

提案手法

• 滑らかなエタール群コホロジー $ \textsf{G} $ を用いて、接続付きゲルベをモデル化する複体 $ π(3)_D^∞ $ を用いて、軌道多様体のデリーヌコホロジーを定義する。
• $ H^3(\textsf{G}, π(3)_D^∞) $ が $ \textsf{G} $ 上の接続付きゲルベを分類することを示し、セーチハイパコホモロジーと微分形式を用いる。
• ゲルベからインertia群コホロジー上の線束へのホロノミー準同型 $ \text{holo}: H^3(\textsf{G}, π(3)_D^∞) \to H^2(\text{inertia}(\textsf{G}), π(2)_D^∞) $ を構成する。
• 接続付き線束がインertia群コホロジー上で平坦であることを示し、$ a ∈ \wedge\textsf{G}_0 $ に対して $ dA(a) = 0 $ であることから、ねじれ領域での曲率形式が消えることを示す。
• セーチ複体間の自然な準同型 $ \breve{C}(\textsf{G}, π^\times(p)_{γ}) \to \breve{C}(\text{inertia}(\textsf{G}), π^\times(p-1)_{γ}) $ を用いて、ホロノミーをより高いデリーヌコホロジー群へ一般化する。
• 同型 $ (2\pi i)^{-p+1} \cdot \mathbb{H}^{q+1}(\textsf{G}, \mathbb{Z}(p)^\infty_D) \cong \mathbb{H}^{q}(\text{inertia}(...), \mathbb{Z}(p-1)^\infty_D) $ を活用し、次元を跨ぐコホロロジー群の関係を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 デリーヌコホロジーはどのように軌道多様体に一般化可能であり、接続付きゲルベの分類において果たす役割は何か？
• RQ2 タイプII超弦理論における $ B $-場と離散的ねじれは、どのようにデリーヌコホロジーに対応するか？
• RQ3 接続付きゲルベからインertia群コホロジー上の線束へのホロノミー写像の幾何的意味は何か？
• RQ4 ホロノミー構成から生じる接続付き線束の平坦性は、どのようにして生じるか？
• RQ5 ホロノミー構成は、すべてのデリーヌコホロジー群およびより高いねじれ領域に一般化可能か？

主な発見

• 第3デリーヌコホロジー群 $ H^3(\textsf{G}, π(3)_D^∞) $ は、滑らかなエタール群コホロジー $ \textsf{G} $ を用いてモデル化される軌道多様体上の接続付きゲルベを分類する。
• タイプII弦理論における $ B $-場と離散的ねじれは、$ H^3(\textsf{G}, π(3)_D^∞) $ の類として実現され、$ H^3(B\textsf{G}, ℤ) $ への忘却写像により、標準的コホロロジー類 $[H]$ が回復される。
• 自然なホロノミー写像 $ \text{holo}: H^3(\textsf{G}, π(3)_D^∞) \to H^2(\text{inertia}(\textsf{G}), π(2)_D^∞) $ が存在し、各接続付きゲルベにインertia群コホロジー上の線束（接続付き）を割り当てる。
• インertia群コホロジー上の線束は平坦である。これは、$ a ∈ \wedge\textsf{G}_0 $ に対して $ dA(a) = 0 $ であることから、ねじれ領域での曲率形式が消えるためである。
• ホロノミー写像はすべてのデリーヌコホロジー群に一般化され、写像 $ \mathbb{H}^q(\textsf{G}, \mathbb{C}^\times(p)_{\textsf{G}}) \to \mathbb{H}^{q-1}(\wedge\textsf{G}, \mathbb{C}^\times(p-1)_{\wedge\textsf{G}}) $ を得る。この写像は、$ (2\pi i)^{-p+1} \cdot \mathbb{H}^{q+1}(\textsf{G}, \mathbb{Z}(p)^\infty_D) $ を含む同型を誘導する。
• インertia群コホロジー上の誘導された平坦線束は、まさにルアンの内部局所系であり、これらの対象をデリーヌコホロジーの観点から微分幾何的実現として与える。