[論文レビュー] Deligne--Langlands gamma factors in families

David Helm, Gilbert Moss|arXiv (Cornell University)|Oct 29, 2015

Advanced Algebra and Geometry参考文献 11被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、ε-因子とL-因子を組み合わせたDeligne–Langlandsのガンマ因子が、ネーター的W(k)-代数上のε-adicガロア表現の族全体に連続的に補間されることを確立している。これは、個々のε-因子やL-因子がそうした補間を満たさないという主要な問題を解決するものである。主な結果として、局所化されたローレンツ多項式環において、普遍的に整合性を持つ、明確に定義されたガンマ因子の構成がなされている。このガンマ因子は函子性、特化への整合性、乗法性を満たす。

ABSTRACT

Let F be a p-adic field, W_F its absolute Weil group, and let k be an algebraically closed field of prime characteristic l different from p. Attached to any l-adic representation of W_F are local epsilon- and L-factors. There are natural notions of families of l-adic representations of W_F, such as the theory of Galois deformations or, more generally, families over arbitrary Noetherian W(k)-algebras. However, the epsilon and L-factors do not interpolate well in such families. In this paper it is shown that the gamma factor, which is the product of the epsilon factor with a ratio of L-factors, interpolates over such families.

研究の動機と目的

• ℓ-adicガロア表現の族においてε-因子とL-因子が補間されないという問題を解決すること。
• ε-因子とL-因子の比を含むガンマ因子が、このような族において補間されることを確立すること。
• ネーター的W(k)-代数Rに対して、環S^{-1}(R[X,X^{-1}])における正規化された、函煩的かつ整合性を持つガンマ因子の構成。
• 変形理論とガロア表現の族に整合する局所Langlands対応の拡張を確認すること。
• 局所Langlands対応が変形理論と整合するための枠組みを提供すること。

提案手法

• ネーター的W(k)-代数R上の連続的ℓ-adic表現ρ: W_F → GL_n(R)の族を定義し、ガロア変形理論を一般化する。
• 非整域に対しても有理関数の性質を保つために、局所化環S^{-1}(R[X,X^{-1}])を導入する。
• Froベニウスと分岐部分群に関する特性多項式の恒等式と、修正されたε-因子ε_0(ρ,ψ)を用いて、補間されたガンマ因子γ_R(ρ,X,ψ)を構成する。
• ρをTame部とWild部に分解し、ρ = ρ^0 ⊕ ρ^{>0}として、完全に野生的分岐な場合にγ = ε_0となるように還元する。
• Yas09におけるε_0-補間の結果と定理6.1を用いて、γ_Rが基底変換に関して正しく定義され、整合的であることを示す。
• Zariski開被覆における貼り合わせと、特異化が特徴的ゼロ点に一致することを検証することで、一意性と整合性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意のネーター的W(k)-代数上でのℓ-adicガロア表現の族において、Deligne–Langlandsのガンマ因子は補間可能か？
• RQ2 なぜε-因子とL-因子はこのような族において補間されないが、ガンマ因子は成功するのか？
• RQ3 局所化ローレンツ環S^{-1}(R[X,X^{-1}])において、正規化された、函煩的かつ乗法的なガンマ因子の構成は可能か？
• RQ4 特徴的ゼロ点への特化において、補間されたガンマ因子は古典的ガンマ因子と一致するか？
• RQ5 族の設定において、誘導と完全列に対して、補間されたガンマ因子はどのように振る舞うか？

主な発見

• 任意のネーター的W(k)-代数Rおよび連続的ℓ-adic表現ρに対して、ガンマ因子γ_R(ρ,X,ψ)はS^{-1}(R[X,X^{-1}])の元として正しく定義される。
• 函煩性が満たされる：R → R' への基底変換は、ガンマ因子に期待される写像を誘導する。
• Rが特徴的ゼロの完全局所整域の分数体であるとき、γ_R(ρ,X,ψ)は古典的Deligne–Langlandsガンマ因子に一致する。
• ガンマ因子は乗法的である：完全列0 → ρ' → ρ → ρ'' → 0に対して、γ_R(ρ,X,ψ) = γ_R(ρ',X,ψ) · γ_R(ρ'',X,ψ)が成り立つ。
• 有限分離拡大に沿った誘導表現に対しては、γ_R(Ind_{E/F} r_E, X, ψ) = γ_R(r_E, ψ ∘ tr_{E/F})が成り立つ。
• 構成は一意的であり、特徴的ゼロ点への特化と整合的であるため、古典理論と一貫性を保つ。