[論文レビュー] Deligne-Lusztig constructions for unipotent and p-adic groups

Mitya Boyarchenko|arXiv (Cornell University)|Jul 25, 2012

Advanced Algebra and Geometry参考文献 9被引用数 17

ひとこと要約

本稿は、$p$-進再編群の超臨界表現のLusztigの予想的デリーニュ＝ルスティグ型構成に対する明示的な計算手法を開発し、特に単型群および除法代数群に焦点を当てる。特定のind-スキームのコホモロジーを分析し、特性和を活用することで、コンパクト開部分群からの誘導表現として、不可約超臨界表現を計算する。局所体上の$GL_2$および$SL_2$の場合のレベル2表現について、明示的な実現が得られる。

ABSTRACT

In 1979 Lusztig proposed a conjectural construction of supercuspidal representations of reductive p-adic groups, which is similar to the well known construction of Deligne and Lusztig in the setting of finite reductive groups. We present a general method for explicitly calculating the representations arising from Lusztig's construction and illustrate it with several examples. The techniques we develop also provide background for the author's joint work with Weinstein on a purely local and explicit proof of the local Langlands correspondence.

研究の動機と目的

• Lusztigの予想的コホモロジー的構成によって生じる$p$-進群の超臨界表現を明示的に計算する一般的手法を提供すること。
• 局所非アーベル$p$-進体上の単型群および除法代数を含む具体的な例を通じて、この手法を示すこと。
• コホモロジー群$H_i(X, \bar{\mathbb{Q}}_\ell)$の$\theta$-特異的成分から得られる$G$-表現を計算するための枠組みを確立すること。
• 得られた表現がデリーニュ＝ルスティグパターンおよび$\mathbb{F}_q$上の有限群表現とどのように関係するかを明らかにすること。
• 局所ラングランズ対応の局所的で明示的な証明の基盤を築くこと。

提案手法

• Froベニウス自己同型$F$を用いて、$\overline{\mathbb{F}}_q$上にind-スキーム$X = (\widetilde{U} \cap F^{-1}(\widetilde{U})) \backslash \{ g \in \widetilde{G} \mid F(g)g^{-1} \in \widetilde{U} \}$を定義する。
• $G = \mathbb{G}(K)$および$T = \mathbb{T}(K)$の$X$への作用を用いて、コホモロジー群$H_i(X, \overline{\mathbb{Q}}_\ell)$における滑らかな表現を定義する。
• 滑らかな特徴$\theta: T \to \overline{\mathbb{Q}}_\ell^\times$に対して、$\theta$-特異的成分$H_i(X, \overline{\mathbb{Q}}_\ell)[\theta]$を計算する。
• 特性和の恒等式およびトレース公式を適用し、特に$H^2_c(X_3, \overline{\mathbb{Q}}_\ell)[\chi]$において、誘導表現の重複度を特定する。
• 誘導構造の主要な構成要素として、表現$\rho_{\chi} \cong \operatorname{Ind}_{H_2(\mathbb{F}_{q^2})}^{U^{2,q}_3(\mathbb{F}_{q^2})}(\chi^\sharp)$を同定する。
• フロベニウスの随伴性および特性トレースを用いて、$\eta_\theta^\circ \cong \operatorname{Ind}_{\langle \bar{\zeta} \rangle \cdot H_2(\mathbb{F}_{q^2})}^{{\mathcal{R}}_{3,2,q}^\times(\mathbb{F}_{q^2})}(\theta^\sharp)$が成り立つことを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Lusztigの予想的コホモロジー的構成によって生じる$p$-進群の超臨界表現をどのように明示的に定式化できるか。
• RQ2 コンパクト開部分群からの誘導表現として、コホモロジー群$H_i(X, \overline{\mathbb{Q}}_\ell)$の構造はどのように記述できるか。
• RQ3 得られた表現は、有限体上のデリーニュ＝ルスティグパターンとどのように関係するか。
• RQ4 代数的トーラス$\mathbb{T} \otimes_K \widehat{K}^{nr}$がボレル部分群に含まれるという仮定を超えて、この構成を一般化できるか。
• RQ5 $\theta$-特異的成分と局所ラングランズ対応との正確な関係は何か。

主な発見

• コホモロジー群$H^2_c(X_3, \overline{\mathbb{Q}}_\ell)[\chi]$は、$U^{2,q}_3(\mathbb{F}_{q^2})$の不可約表現である$\operatorname{Ind}_{H_2(\mathbb{F}_{q^2})}^{U^{2,q}_3(\mathbb{F}_{q^2})}(\chi^\sharp)$に同型である。
• $U^{1}_L / U^{3}_L$上の表現$\rho_{\chi}$は、$\operatorname{Ind}_{H_2(\mathbb{F}_{q^2})}^{U^{2,q}_3(\mathbb{F}_{q^2})}(\chi^\sharp)$として実現され、$\chi^\sharp$は$\bar{\zeta}$による共役作用に関して不変である。
• 特性和$\sum_{\delta \in \ker(\operatorname{Tr}_{{\mathbb{F}}_{q^2}/{\mathbb{F}}_q})} \psi(\delta) = 0$より、$\sum_{\delta} \psi(\delta) \cdot \sum_{\beta} N''(\lambda, \delta, \beta) = q^2$が導かれる。
• $\sum_{\gamma \in U^1_L / U^3_L} \chi_1(\gamma)^{-1} \chi_2(\gamma)$は、$\chi_1 = \chi_2$のとき$q^4$、それ以外のときは0に等しく、特異的成分の重複度1が確認される。
• $R^2_{{\mathbb{T}}, \theta}$は非ゼロであり、$\operatorname{Ind}_{\langle \bar{\zeta} \rangle \cdot H_2(\mathbb{F}_{q^2})}^{{\mathcal{R}}_{3,2,q}^\times(\mathbb{F}_{q^2})}(\theta^\sharp)$として与えられ、$\theta^\sharp$は$\chi^\sharp$の拡張である。
• 誘導表現における$\bar{\zeta}$のトレースは1であるため、誘導表現の一意性および不可約性が確認される。