[論文レビュー] Deligne-Mumford compactification of the real multiplication locus and Teichmueller curves in genus three

Matt Bainbridge, Martin Moeller|ArXiv.org|Nov 24, 2009

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 21被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、3次曲線のモジュライ空間のデリーニュ＝マクマロンコンパクト化における、実乗法の局所と固有形式の局所の境界を完全に分類する。代数幾何と数論を用いて、全実立方体体における残留条件と凸包基準を介して、境界における安定曲線および安定1形式を特徴づけ、ティヒミュラー曲線の有限性および固有形式の局所がGL₂⁺(ℝ)作用に対して不変でないことを示す。

ABSTRACT

In the moduli space M_g of genus g Riemann surfaces, consider the locus RM_O of Riemann surfaces whose Jacobians have real multiplication by the order O in a totally real number field F of degree g. If g = 2 or 3, we compute the closure of RM_O in the Deligne-Mumford compactification of M_g and the closure of the locus of eigenforms over RM_O in the Deligne-Mumford compactification of the moduli space of holomorphic one-forms. For higher genera, we give strong necessary conditions for a stable curve to be in the boundary of RM_O Boundary strata of RM_O are parameterized by configurations of elements of the field F satisfying a strong geometry of numbers type restriction. We apply this computation to give evidence for the conjecture that there are only finitely many algebraically primitive Teichmueller curves in M_3. In particular, we prove that there are only finitely many algebraically primitive Teichmueller curves generated by a one-form having two zeros of order 3 and 1. We also present the results of a computer search for algebraically primitive Teichmueller curves generated by a one-form having a single zero.

研究の動機と目的

• モジュライ空間の3次曲線のデリーニュ＝マクマロンコンパクト化M̄_3における実乗法の局所RM_Oの境界を記述すること。
• 全平坦化バンドルΩM̄_3における固有形式の局所ΩE_Oの閉包を特徴づけること。
• 境界解析を通じて、実乗法をもつリーマン面に関する問題を、明示的な代数的および数論的問題に還元すること。
• 3次ティヒミュラー曲線の有限性およびGL₂⁺(ℝ)作用に対する固有形式の局所の不変性の欠如を確立すること。

提案手法

• 周期行列と安定形式理論を用いて、実乗法をもつヤコビアンの退化を分析する。
• Q: F → F で定義される2次写像Q(x) = N^F_Q(x)/x を用いて、境界における残留構成を研究する。
• 有限部分集合S ⊂ F に対して「半空間条件なし」を導入し、F ⊗_Q RにおけるQ(S)の凸包の内部に0を含むことを要請する。
• 境界ストラトの位相的型を符号化する有向グラフを構成する。頂点は成分、辺はノード、重みはOのイデアルI内の残留値を表す。
• 全実体における順序の上のExt群を用いたホモロジー代数的手法を用い、R-加群のシンプレクティック拡大を分類する。
• 付録Aで、与えられたイデアルIに対して境界ストラトを列挙するアルゴリズムを開発し、図4に具体的な数え上げを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 M̄_3における実乗法の局所RM_Oの境界に属する3次安定曲線はどれか？
• RQ2 安定1形式がΩE_Oの閉包に属するための残留条件および凸包条件は何か？
• RQ3 残留重み付きグラフを用いて、固有形式の局所の境界ストラトを位相的および代数的にどのように分類できるか？
• RQ4 3次ティヒミュラー曲線は、固有形式の局所内でどのような有限性性質を示すか？
• RQ5 固有形式の局所ΩE_Oは、ΩM̄_3上のGL₂⁺(ℝ)作用に対して不変か？

主な発見

• 幾何的 genus 0 の安定1形式 (X,ω) がΩE_Oの境界にあるための必要十分条件は、その残留集合が、半空間条件を満たし、イデアルI ⊂ Oを生成するS ⊂ F に対してι(S)の倍数であることである。
• 固有形式の局所の境界ストラトは、イデアルI ⊂ O に値をとる辺重み付き有向グラフによってパラメトライズされ、各ストラトはM̄_0,nまたはその部分多様体の積である。
• 3次の場合、Q(S)における半空間条件は、安定形式がΩE_Oの境界にあるための必要十分条件である。
• 本稿では、ストラトΩM̄_3(3,1)におけるティヒミュラー曲線の有限性を証明し、ハイパーオーバルストラトΩM̄_3(4)^hypにおける有限性に関する予想を提示する。
• 固有形式の局所ΩE_Oは、ΩM̄_3上のGL₂⁺(ℝ)作用に対して不変でない。これは、不変でない境界ストラトの明示的構成によって示された。
• 3ノードを持つ曲線の境界ストラトは、全実立方体体の整数環におけるイデアルの基底(r₁,r₂,r₃)を用いて完全に分類され、ノードの交比に関する明示的条件が与えられる。