[論文レビュー] Delocalized membrane model

М. Г. Иванов|ArXiv.org|May 8, 2001

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 13被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、時空 $\mathbf{M}$ から次元 $D-n$ の目標多様体 $\mathbf{F}$ への写像 $\varphi^\alpha: \mathbf{M} \to \mathbf{F}$ を用いる、新しい $(\mathbf{M} \to \mathbf{F})$-アプローチにより、共変的で制約のない膜理論の定式化を提案する。主な貢献は、超重力理論における $p$-ブレーン解を一般化した正則化・非局在化された膜作用で、この作用から直接的に制約のない作用からハミルトニアン形式が得られる。その際、場の勾配の行列 $\mathcal{G}^{\alpha\beta}$ を用いる。

ABSTRACT

A model considered in the paper generalizes membrane theory to the case of delocalized membranes. The model admits covariant formulation, which involves no constraints. It generalizes the notion of membrane to the case of smooth distribution of non-intersecting membranes. A generalization of p-brane solution with delocalized membranes is presented.

研究の動機と目的

• 標準的な膜理論における特異性を解消するために、点状の膜を無限に軽い膜の連続的・非局在的分布に置き換える。
• 従来の $(\mathbf{V} \to \mathbf{M})$ 膜形式における固有の制約を回避するため、時空 $\mathbf{M}$ 上の体積場として理論を再定式化する。
• 次元 $D-n$ の目標多様体 $\mathbf{F}$ を用いた共変的・幾何学的に自然な膜力学の定式化を提供し、直接的なハミルトニアン形式を可能にする。
• 超重力理論における $p$-ブレーン解を、反対称テンソル場と射影型エネルギー運動量テンソルを含む新しい作用を用いて、非局在化源を含む形に一般化する。

提案手法

• 非局在化膜を記述する新しい作用 $S_{\mathbf{M} \to \mathbf{F}} = -\int_{\mathbf{M}} d^D X \sqrt{|g|} \sqrt{\det(g^{MN} \varphi^\alpha_{,M} \varphi^\beta_{,N})}$ を提案する。ここで、スカラー場 $\varphi^\alpha: \mathbf{M} \to \mathbf{F}$ が時空から目標多様体への写像を表す。
• 行列 $\mathcal{G}^{\alpha\beta} = g^{MN} \varphi^\alpha_{,M} \varphi^\beta_{,N}$ 及びその逆行列 $\mathcal{G}_{\alpha\beta}$ を定義し、これらは膜分布の誘導幾何を記述する。
• 作用を $\varphi^\alpha$ で変分することにより運動方程式を導出し、$\partial_M \left( \sqrt{\frac{|g|}{\mathcal{G}}} \mathcal{G}_{\alpha\beta} g^{MN} \varphi^\beta_{,N} \right) = 0$ を得る。
• エネルギー運動量テンソルを $T_{MN} = -\frac{1}{\sqrt{\mathcal{G}}} \left( g_{MN} - \mathcal{G}_{\alpha\beta} \varphi^\alpha_{,M} \varphi^\beta_{,N} \right)$ と定義し、射影性 $T_{MN} = -\rho \mathcal{P}_{MN}$ を満たす。
• 正準運動量 $p_\alpha = -\sqrt{\frac{|g|}{\mathcal{G}}} \mathcal{G}_{\alpha\beta} \partial^0 \varphi^\beta$ を用いて、ハミルトニアン密度 $\mathcal{H} = \sqrt{ \frac{|g|}{\mathcal{G}^0} - \frac{h^{\alpha\beta}}{g^{00}} p_\alpha p_\beta } - \frac{g^{0m}}{g^{00}} \varphi^\alpha_{,m} p_\alpha$ を導出する。
• 非局在化膜を $(n+1)$-形式場と結合させることで一般化された $p$-ブレーン解を構成し、計量 $ds^2 = H^{-2/q} \eta_{ij} dX^i dX^j + H^{2/(D-q-2)} \delta_{\alpha\beta} dX^\alpha dX^\beta$ を得る。ここで $H$ は調和関数である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 標準的な膜理論における特異的・点状の膜を、制約や特異的源を避けるためにどのように正則化できるか？
• RQ2 従来の $x: \mathbf{V} \to \mathbf{M}$ の代わりに、双対場写像 $\varphi: \mathbf{M} \to \mathbf{F}$ を用いて、共変的で制約のない膜力学の定式化が可能か？
• RQ3 エネルギー運動量テンソルが非局在化膜モデルにおいて果たす幾何的・力学的役割は何か？また、射影性とはどのように関係するか？
• RQ4 制約を解かずに、作用から直接ハミルトニアン形式がどのように導かれるか？また、$\mathcal{G}^{\alpha\beta}$ 行列を用いたその構造は何か？
• RQ5 超重力理論における標準的な $p$-ブレーン解を、この新しい形式を用いて非局在的・連続的な膜分布を含む形に一般化できるか？

主な発見

• $(\mathbf{M} \to \mathbf{F})$-アプローチにより、非局在化膜の完全に共変的で制約のない作用が得られ、場の数が $D$ から $D-n$ に減少し、$(\mathbf{V} \to \mathbf{M})$ 形式に存在する $n$ 個の制約が排除される。
• エネルギー運動量テンソルは射影性 $T_{MN} = -\rho \mathcal{P}_{MN}$ を満たし、ここで $\mathcal{P}_{MN}$ はランク $n$ の直交射影子である。これにより膜に類似した力学が保証される。
• ハミルトニアン密度は制約のない作用から直接導出可能であり、ミンコフスキー空間では $\mathcal{H} = \sqrt{ \det(h^{\alpha\beta}) + h^{\alpha\beta} p_\alpha p_\beta }$ と表され、運動量に非自明な依存性を示す。
• $(n+1)$-形式場と結合された $D$ 次元時空に対して一般化された $p$-ブレーン解が構成され、計量成分は調和関数 $H$ に依存し、源電流 $J = -h^2 \triangle H \, dX^q \wedge \dots \wedge dX^{D-1}$ を持つ。
• $D=4$, $q=1$ のとき、$H$ が調和的で源から離れて $\triangle H = 0$ ならば、この解はマジュンダル・パパペトル解に還元され、既知の極限ブラックホール解と整合的であることが示される。
• 作用は $\mathbf{M}$ 及び $\mathbf{F}$ 上の微分同相変換に対して不変であり、完全な共変性を保証し、$\mathbf{F}$ が膜のモジュライ空間としての解釈を支持する。