[論文レビュー] Delooping of high-dimensional spaces of string links

Julien Ducoulombier|arXiv (Cornell University)|Sep 3, 2018

Algorithms and Data Compression参考文献 13被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、多変数多様体計算と、操業的圏上のk重双モジュールの導来写像空間を用いて、高次元のストリングリンク空間（自己埋め込みを除く）の明示的デループを確立する。すべてのiに対して$d_i + 3 \ne n$である条件の下で、ホモトピー・ファイバー$L(d_1,\dots, d_k; n)$が$d$重反復ループ空間とホモトピー同値であることを証明し、$k=1$の既知の結果をより高い$k$へ一般化する。

ABSTRACT

We study a connection between a multivariable version of the Goodwillie-Weiss' calculus of functors and derived mapping spaces of k-fold bimodules over a family of operads. As our main application, under the assumption $d_{i}+3\leq n$ for all $i\in \{1,\ldots,k\}$, we produce explicit deloopings of high-dimensional spaces of string links modulo immersions from $\sqcup_{i}\mathbb{R}^{d_{i}}$ to $\mathbb{R}^{n}$ and their polynomial approximations.

研究の動機と目的

• 高次元における$k>1$のストリングリンクへの、長さ knot に関する既知のデループ（$k=1$）の拡張。
• 埋め込み空間と自己埋め込みのホモトピー・ファイバーである空間$\mathcal{L}(d_1,\ldots,d_k;n)$のホモトピー型の理解。
• k重無限小双モジュールおよび操業的圏上のk重双モジュールを対象とする、グッドウィル・ウエイスの多様体計算の多変数版の構築。
• 家族的操業的圏上の双モジュールのモデル圏における導来写像空間を用いた明示的デループの構成。
• $\mathcal{L}(d;n)$の有理ホモトピー記述を、グラフ複体と整合的操業的圏を用いて、多スレッドの場合に一般化すること。

提案手法

• 多変数多様体計算を用いて、$\coprod \mathbb{R}^{d_i}$ から $\mathbb{R}^n$ への埋め込み空間を分析する。
• 埋め込みおよび自己埋め込み空間をモデル化するために、k重無限小双モジュールおよびk重操業的圏上の双モジュール理論を適用する。
• モデル圏構造における導来写像空間を解消するため、k重双モジュールのボードマン＝ヴォイト解体を構成する。
• k重双モジュールにおけるリーディーおよび射影的モデル圏構造を用いて、導来写像空間を定義する。
• 埋め込み空間のホモトピー型と反復ループ空間との関係を関係付けるために、整合的操業的圏の概念に依存する。
• 既知の同値性を用いて、小さな立方体操業的圏$\mathcal{C}_d$にフレームワークを適用し、結果をグラフ複体ホモロジーと関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $k=1$のとき有効な$\mathcal{L}(d;n)$のデループ結果が、適切な余次元条件の下で$k>1$のストリングリンクへ拡張可能か。
• RQ2 埋め込みを自己埋め込みで除いたホモトピー・ファイバーである空間$\mathcal{L}(d_1,\ldots,d_k;n)$のホモトピー型は何か。
• RQ3 多変数多様体計算は、家族的操業的圏上のk重双モジュールを扱うためにどのように適合可能か。
• RQ4 ボードマン＝ヴォイト解体は、k重双モジュールの導来写像空間を実現する上で果たす役割は何か。
• RQ5 $2d_i+2\leq n$より弱い余次元仮定の下で、$\mathcal{L}(d_1,\ldots,d_k;n)$の有理ホモトピー型はグラフ複体を用いて記述可能か。

主な発見

• すべての$i$に対して$d_i + 3 \leq n$である条件の下で、空間$\mathcal{L}(d_1,\ldots,d_k;n)$は$d$重反復ループ空間とホモトピー同値である。ここで$d = \min\{d_1,\ldots,d_k\}$である。
• ホモトピー・ファイバー$\mathcal{L}(d_1,\ldots,d_k;n)$は、$\Omega^d \operatorname{Map}^{\text{h}}_{\text{Bimod}}(\mathcal{C}_d, \mathcal{C}_n)$と弱同値であることが示され、$k=1$の場合を一般化する。
• 導来写像空間$\operatorname{Map}^{\text{h}}_{\text{Bimod}}(\mathcal{C}_d, \mathcal{C}_n)$は、小さな立方体操業的圏$\mathcal{C}_d$上のk重双モジュールとして実現される。
• モデル圏の$\Lambda^{\times k}$設定において、ボードマン＝ヴォイト構成を用いてk重無限小双モジュール$\mathbb{O}$の明示的解体を構成する。
• k重双モジュール上のモデル圏構造により、導来写像空間の計算が可能となり、デループ構成が可能になる。
• この方法に対して最適な余次元条件$d_i + 3 \leq n$が得られ、$k=1$の既存の結果を体系的に拡張する。