[論文レビュー] Demazure crystals and tensor products of perfect Kirillov-Reshetikhin crystals with various levels

Katsuyuki Naoi|arXiv (Cornell University)|Aug 16, 2011

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 28被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、Kirillov-Reshetikhin (KR) きりくろっぶくらすとDemazure きりくろっぶくらすの間の同型性を、KR きりくろっぶくらすのレベルが異なる場合に一般化する。KR きりくろっぶくらすのレベルが異なる場合、最高重み元とテンソル積をとると、そのテンソル積は、最高重みきりくろっぶくらすのテンソル積内にあるDemazure きりくろっぶくらすの直和に、全部分グラフとして同型になる。この同型は、エネルギー関数によるη-次数と、次数作用素の負の作用による次数を保存する。

ABSTRACT

In this paper, we study a tensor product of perfect Kirillov-Reshetikhin crystals (KR crystals for short) whose levels are not necessarily equal. We show that, by tensoring with a certain highest weight element, such a crystal becomes isomorphic as a full subgraph to a certain disjoint union of Demazure crystals contained in a tensor product of highest weight crystals. Moreover, we show that this isomorphism preserves their gradings, where the grading on the tensor product of KR crystals is given by the energy function, and that on the other side is given by the minus of the action of the degree operator.

研究の動機と目的

• 同じレベルを持つ完全KR きりくろっぶくらすのテンソル積とDemazure きりくろっぶくらすの既知の同型性を、レベルが異なる場合にまで拡張すること。
• レベルが異なるKR きりくろっぶくらすのテンソル積が、最高重み元とテンソル積をとると、Demazure きりくろっぶくらすの直和に同型になることを確立すること。
• この同型性が、KR 側ではエネルギー関数によって与えられるη-次数、Demazure 側では次数作用素の負の作用によって与えられる次数を保存することを証明すること。
• SchillingとTingley（2012）の結果を、非特異的アフィンKac-Moody代数における非一様レベルのKR きりくろっぶくらすに一般化すること。
• 得られるDemazure きりくろっぶくらすの構造を記述するための組合せ的枠組みを、Dynkin自己同型と平行移動作用素を用いて提供すること。

提案手法

• Kashiwara作用素の作用によって定義される、最高重みきりくろっぶくらす$B(\Lambda)$の部分集合としてのDemazure きりくろっぶくらす$B_w(\Lambda)$の理論を用いる。
• レベル$\ell_j$が異なるvarying levelsの完全KR きりくろっぶくらす$B^{r, c_r\ell}$を用い、それらが有限次元的かつきりくろっぶくらす基底を備えることを保証する。
• 重みと作用素を調整し、新たなきりくろっぶくらす構造を構成可能にするために、Dynkin自己同型$\tau$とそのきりくろっぶくらすへの誘導作用を導入する。
• 重みをシフトし、最高重みきりくろっぶくらすのテンソル積内のDemazure型部分グラフを定義するために、平行移動作用素$t_{\mu}$を用いる。
• Kashiwara作用素の反復的適用によってDemazure きりくろっぶくらすを生成する、$\mathcal{F}_{w\tau}(S)$を用いたネストされたフィルトレーションを構築する。
• 組合せ的優れたフィルトレーション定理に依拠し、対象がDemazure きりくろっぶくらすの直和であることを示し、KR きりくろっぶくらすの個数に関する帰納法を用いて同型性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 完全KR きりくろっぶくらすのテンソル積とDemazure きりくろっぶくらすの間の同型性は、KR きりくろっぶくらすのレベルが異なる場合にも拡張可能か？
• RQ2 KR きりくろっぶくらすのテンソル積におけるη-次数（エネルギー関数によるもの）と、Demazure きりくろっぶくらすにおける次数（次数作用素によるもの）の関係は何か？
• RQ3 レベルが異なるKR きりくろっぶくらすのテンソル積に最高重み元をテンソル積したとき、どのような構造が現れるか？
• RQ4 Dynkin自己同型と平行移動作用素は、最高重みきりくろっぶくらす枠組み内での同型像の構成にどのように寄与するか？
• RQ5 レベルが等しくない場合でも、得られる同型性は still η-次数と整合的か？

主な発見

• 全部分グラフとしての同型性：$u_{\ell_p\Lambda_0} \otimes B^{r_p,c_{r_p}\ell_p} \otimes \cdots \otimes B^{r_1,c_{r_1}\ell_1} \cong \mathcal{F}_{t_{\mu_p}}( \cdots \mathcal{F}_{t_{\mu_1}}(u_{\ell_1\Lambda_0}) \cdots )$ が成り立つ。
• 整数$\mathbb{Z}$-次数が保存される：KR 側のエネルギー関数は、Demazure 側の次数作用素の負の作用に対応する。
• 対象は、組合せ的優れたフィルトレーション定理によって保証されるDemazure きりくろっぶくらすの直和である。
• 次数不変量が保存される：$\overline{D}(b) = D(b) + \langle \mathrm{wt}(\Psi_B(u_{\ell_p\Lambda_0} \otimes b)), d \rangle$ は同型全体で一定であり、次数の整合性が保証される。
• 証明はKR きりくろっぶくらすの個数に関する帰納法に依拠し、$\tau$作用と平行移動作用素$t_{\mu_j}$による重みシフトを用いて構造を一致させる。
• 結果はSchillingとTingleyの研究を非一様レベルに一般化し、レベルが異なる場合でもDemazure きりくろっぶくらす構造が依然として現れることを示している。