[論文レビュー] Demazure modules, Fusion products and Q--systems

Vyjayanthi Chari, Rahul Venkatesh|arXiv (Cornell University)|May 11, 2013

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 22被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、単純リー代数のカレント代数に対する、適合条件を満たす分割の組でインデックス付けられる、分解不能な有限次元の順序付きモジュールの族を導入する。これらのモジュールが分割が長方形である場合にはデマールシュモジュールに同型であることを証明し、定義関係を卹簡化し、Qシステムを用いて融合積に関して標準的な短完全列を確立する。さらに、sl₂の場合には明示的な単項式基底を構成する。

ABSTRACT

In this paper, we introduce a family of indecomposable finite--dimensional graded modules for the current algebra associated to a simple Lie algebra. These modules are indexed by a tuple of partitions one for each positive root of the simple Lie algebra. We assume that the partitions satisfy a natural compatibility condition. In the case when the partitions are all rectangular, for instance, we prove that these are precisely the Demazure modules which are stable under the action of the simple Lie algebra. As a consequence we see that the defining relations of these Demazure modules can be greatly simplified. We use this simplified presentation to relate our results to the fusion products (defined by Feigin and Loktev) of representations of the current algebra. We prove that the Q--system can be actually thought of as a canonical short exact of the fusion products of representations associated to certain special partitions. Finally, in the last section we deal with the case of sl(2) and prove that the modules we define are just fusion products of irreducible representations of the associated current algebra. We also give monomial bases for these modules.

研究の動機と目的

• 単純リー代数に関連するカレント代数に対する、新たな分解不能な有限次元の順序付きモジュールの族を定義すること。
• これらのモジュールがデマールシュモジュールに同型となる条件を確立すること、特にインデックスづけられる分割が長方形である場合に注目する。
• これらのモジュールの簡略化された表現を、以前の研究で定義された表現の融合積に関連づけること。
• 特殊な分割に対して、Qシステムを標準的な融合積の短完全列へ拡張すること。
• sl₂の場合におけるこれらのモジュールの単項式基底を提供すること、それらが既約表現の融合積であることを示すこと。

提案手法

• 自然な適合条件を満たす |R⁺|-組の分割 (ξ^α) でインデックスづけられたモジュールを構成すること。
• C[t] からの自然な順序付けを用いて、カレント代数 g⊗C[t] 及びその順序付き構造を用いて順序付きモジュールを定義すること。
• すべての ξ^α が長方形である場合、これらのモジュールが正のレベルの表現におけるデマールシュモジュールに同型であることを証明すること。
• この新しい表現を用いて、デマールシュモジュールの定義関係を簡略化すること。
• Qシステムの拡張として、融合積に関する標準的な短完全列を通じてモジュールを関連づけること、[22]のQシステムを拡張する。
• sl₂の場合、最高重量ベクトルへの x⁻⊗t^k 生成子の作用を用いて単項式基底を構成し、整数組によるインデックスづけを明示すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 新たに定義された順序付きモジュールがいつデマールシュモジュールに同型となるか。
• RQ2 この新しいモジュール族を用いて、デマールシュモジュールの定義関係をどのように簡略化できるか。
• RQ3 これらのモジュールとカレント代数の表現の融合積との関係は何か。
• RQ4 特殊な分割に対して、Qシステムを標準的な融合積の短完全列へ拡張できるか。
• RQ5 sl₂の場合におけるこれらのモジュールの単項式基底は何か。

主な発見

• 著者が定義したモジュールは、すべての ξ^α が長方形分割である場合、デマールシュモジュールに同型である。
• この新しい表現の下で、デマールシュモジュールの定義関係が著しく簡略化される。
• 融合積に関する標準的な短完全列が確立され、[22]のQシステムがより広い分割のクラスへ拡張される。
• sl₂の場合、これらのモジュールがカレント代数の既約表現の融合積であることが示される。
• sl₂の場合、生成子 x⁻⊗t^k の作用を用いて、I(ξ) にインデックスづけられた整数組による単項式基底が構成される。
• 単項式基底の証明は、写像 φ⁻ と φ⁺ の単射性を用いた帰納的議論に依存し、φ⁻ の像は i_ℓ = ξ_ℓ を満たす組に対応する。