[論文レビュー] Demixing Sines and Spikes: Robust Spectral Super-resolution in the Presence of Outliers

Carlos Fernandez‐Granda, Gongguo Tang+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 8, 2016

Spectroscopy and Chemometric Analyses被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、一定割合のサンプルが外れ値であるとされる破損測定値から、多重正弦信号の線スペクトルをスーパーレゾリューションするための凸最適化手法を提案する。信号を正弦波とスパーススパイクの混合としてモデル化し、原子ノルム最小化を用いてスペクトルを同時に分離・スーパーレゾリューションする。測定値の数に対してスペクトル線の数が線形である場合、ランダムな位相と最小周波数間隔の条件下で、高い確率で正確な回復が達成される。

ABSTRACT

We consider the problem of super-resolving the line spectrum of a multisinusoidal signal from a finite number of samples, some of which may be completely corrupted. Measurements of this form can be modeled as an additive mixture of a sinusoidal and a sparse component. We propose to demix the two components and super-resolve the spectrum of the multisinusoidal signal by solving a convex program. Our main theoretical result is that-- up to logarithmic factors-- this approach is guaranteed to be successful with high probability for a number of spectral lines that is linear in the number of measurements, even if a constant fraction of the data are outliers. The result holds under the assumption that the phases of the sinusoidal and sparse components are random and the line spectrum satisfies a minimum-separation condition. We show that the method can be implemented via semidefinite programming and explain how to adapt it in the presence of dense perturbations, as well as exploring its connection to atomic-norm denoising. In addition, we propose a fast greedy demixing method which provides good empirical results when coupled with a local nonconvex-optimization step.

研究の動機と目的

• 測定値の一定割合がインパルス的外れ値によって破損する状況におけるスペクトルスーパーレゾリューションを解決すること。
• 多重正弦波信号とスパース外れ値を同時に分離し、スペクトルをスーパーレゾリューションする手法を開発すること。
• ランダムな位相と最小周波数分離条件といった現実的条件下で、正確な回復に関する理論的保証を提供すること。
• 密な摂動を扱えるようにこの手法を拡張し、原子ノルムノイズ除去と接続すること。

提案手法

• 破損信号を多重正弦波成分とスパーススパイク成分の和としてモデル化する。
• 周波数ドメインにおけるスパarsityを促進し、線スペクトルを回復するために原子ノルム最小化を用いる。
• 正弦波成分の推定と外れ値の同定を同時に実行する凸最適化問題を解く。この際、スパarsity誘導型正則化を用いる。
• 半定値計画法（SDP）を用いて実装し、計算の効率化と理論的解析を可能にする。
• 局所的な非凸最適化ステップを含むグリーディ分離アルゴリズムを導入し、実験的性能を向上させる。
• 総変動法および原子ノルムノイズ除去の技術と組み合わせることで、密なノイズに対応する手法を適応させる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 測定値の一定割合が完全に外れ値によって破損する状況でも、スペクトルスーパーレゾリューションを効果的に実行できるか？
• RQ2 凸最適化が、正弦波とスパイクの混合信号から、多重正弦波信号の線スペクトルを正確に回復できる条件は何か？
• RQ3 外れ値の影響下で、提案手法とMUSIC やピリオドグラムといった従来のスペクトル推定手法の性能を比較するとどうなるか？
• RQ4 本手法を、スパース外れ値と密な摂動の両方を同時に処理できるように拡張できるか？
• RQ5 グリーディ分離アルゴリズムの実験的性能と理論的性能は、凸最適化アプローチと比べてどうなるか？

主な発見

• 提案された凸手法は、スペクトル線の数が測定値の数に対して線形である場合、外れ値の一定割合が存在しても高い確率で正確なスーパーレゾリューションを達成する。
• ランダムな位相とスペクトル線の最小間隔条件の下で理論的保証が成立し、回復成功率は対数要因の範囲内で達成される。
• MUSIC やピリオドグラムといった従来のスペクトル推定手法に比べ、本手法は優れた性能を示す。外れ値の影響で従来手法は真のスペクトル線を検出できず、誤ったスペクトル線を生成してしまう。
• SDPを用いた原子ノルムノイズ除去は、行列補完ベースのノイズ除去よりも精度と速度の両面で優れており、平均実行時間は3.25秒／試行対11.1秒／試行である。
• 局所的な非凸最適化を組み込んだグリーディ分離法は良好な実験的性能を示しており、高速かつスケーラブルな実装の可能性を示唆する。
• 正則化パrameterの選択に強く依存せず、既存のノイズ除去フレームワークと組み合わせることで、密なノイズに対しても適応可能である。