[論文レビュー] Demushkin groups and inverse Galois theory for pro-p-groups of finite rank and maximal p-extensions

Ivan D. Chipchakov|arXiv (Cornell University)|Mar 10, 2011

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 25被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、有限ランクのデムシキン群であるガロア群の構造を調査し、特に最大 $p$-拡張のガロア群としてのデムシキン群に注目する。$E$ を $\Gamma(E(p)/E)$ がランク $\geq 3$ のデムシキン群であるような体とすると、非自明な真部分分解群は存在しない。ランクが 2 のとき、このような群は完全に特徴づけられる。本研究は $p$-ヘンゼル的付値を用いて、プロ-$p$-群への逆ガロア理論の拡張を図り、局所体に $p$ 乗根を含む場合の適応可能なデムシキン群の分類を達成する。

ABSTRACT

This paper proves that if $E$ is a field, such that the Galois group $\mathcal{G}(E(p)/E)$ of the maximal $p$-extension $E(p)/E$ is a Demushkin group of finite rank $r(p)_{E} \ge 3$, for some prime number $p$, then $\mathcal{G}(E(p)/E)$ does not possess nontrivial proper decomposition groups. When $r(p)_{E} = 2$, it describes the decomposition groups of $\mathcal{G}(E(p)/E)$. The paper shows that if $(K, v)$ is a $p$-Henselian valued field with $r(p)_{K} \in \mathbb N$ and a residue field of characteristic $p$, then $P \cong \widetilde P$ or $P$ is presentable as a semidirect product $\mathbb Z_{p}^τ times \widetilde P$, for some $τ\in \mathbb N$, where $\widetilde P$ is a Demushkin group of rank $\ge 3$ or a free pro-$p$-group. It also proves that when $\widetilde P$ is of the former type, it is continuously isomorphic to $\mathcal{G}(K ^{\prime}(p)/K ^{\prime})$, for some local field $K ^{\prime}$ containing a primitive $p$-th root of unity.

研究の動機と目的

• ガロア群が有限ランクのデムシキン群であるとき、最大 $p$-拡張のガロア群における分解群の構造を特定すること。
• $p$-ヘンゼル的付値を持つ体とそのガロア的性質を分析することにより、有限ランクのプロ-$p$-群への逆ガロア理論の拡張を図ること。
• 特に、$p$ 乗根を含む局所体に関連して、有限ランクの適応可能なデムシキンプロ-$p$-群を分類すること。
• すべての適応可能なデムシキン群（ランク $\geq 3$）が標準的適応可能である、すなわち、ある有限次拡張 $F/\mathbb{Q}_p$ に対して $\mathcal{G}(F(p)/F)$ に同型であるかどうかという問題を解決すること。

提案手法

• コホロロジー的基準を用い、カップ積写像 $H^1(P,\mathbb{F}_p) \to H^2(P,\mathbb{F}_p)$ の全射性と $H^2(P,\mathbb{F}_p)$ の位数が $p$ であることによってデムシキン群を定義する。
• 特に、$p$ 乗根を含むかどうかに応じて、$F/\mathbb{Q}_p$ の有限拡張に対して $r = N+2$ または $N+1$ となるランクの公式を、局所類体論の結果を応用して適用する。
• $p$-ヘンゼル的付値とその性質を用いて、特に剰余体と値群の振る舞いを通じてガロア群の構造を分析する。
• Zornの補題と最大性の議論を、付値イデアルの文脈で用いて、ランク $\geq 3$ の場合における非自明な分解群の非存在を証明する。
• ガロア的降下と同型定理を用いて、非 $p$-ヘンゼル的付値の下で $\mathcal{G}(E(p)/E) \cong \mathcal{G}(E_{G(E)}(p)/E_{G(E)})$ を示す。
• 文献 [10, 11, 24, 32] で確立されたランクと縮約成分の位数によるデムシキン群の分類に依拠し、可能なガロア群を特徴付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 体 $E$ に対して $\mathcal{G}(E(p)/E)$ がランク $\geq 3$ のデムシキン群であるとき、非自明な真部分分解群は存在するか？
• RQ2 $\mathcal{G}(E(p)/E)$ がランク 2 のデムシキン群であるとき、分解群の構造はいかなるものか？
• RQ3 有限ランク $\geq 3$ のデムシキン群が標準的適応可能である（すなわち、ある有限次拡張 $F/\mathbb{Q}_p$ に対して $\mathcal{G}(F(p)/F)$ に同型である）ための条件は何か？
• RQ4 $p$-ヘンゼル的付値は、最大 $p$-拡張のガロア群の構造にどのように影響を与えるか？
• RQ5 すべての適応可能なデムシキン群（ランク $\geq 3$）は、局所体の最大 $p$-拡張のガロア群として実現可能か？

主な発見

• $\mathcal{G}(E(p)/E)$ がランク $r(p)_E \geq 3$ のデムシキン群であるならば、非自明な真部分分解群は存在しない。
• $r(p)_E = 2$ のとき、分解群は完全に記述される：それらは $\mathbb{Z}_p$-拡張に対応し、ガロア群 $\mathcal{G}(E(p)/E)$ が $\mathbb{Z}_p^2$ に同型であるのは、それが直接和因子である場合に限る。
• $p$-ヘンゼル的付値を持つ体 $(K,v)$ で、$r(p)_K \in \mathbb{N}$ かつ剰余体の標数が $p$ であるとき、ガロア群 $P$ は $\widetilde{P}$ に同型であるか、または半直積 $\mathbb{Z}_p^\tau \rtimes \widetilde{P}$ に同型である。ここで $\widetilde{P}$ はランク $\geq 3$ のデムシキン群または自由なプロ-$p$-群である。
• $\widetilde{P}$ がランク $\geq 3$ のデムシキン群であるとき、連続同型で $\mathcal{G}(K'(p)/K')$ に同型であるような局所体 $K'$（$p$ 乗根を含む）が存在する。
• $p > 2$ のとき、条件 $\theta \geq 2$, $d \geq 3$, および $d-2$ が $(p-1)p^{\theta-2}$ で割り切れることが、$P_{d,\theta}$ の標準的適応可能性の必要十分条件である。これは (1.3)(ii) の分類に従う。
• 本稿は、$r(p)_E = 2$ かつ $p$ 乗根を含む体に対して、$p$-ヘンゼル的付値の存在が保証されることを確認し、この場合の未解決問題を解決した。