[論文レビュー] Denosing Using Wavelets and Projections onto the L1-Ball

Ahmet Enis Çetin, Mohammad Tofighi|arXiv (Cornell University)|Jun 10, 2014

Image and Signal Denoising Methods参考文献 10被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、ノイズの分散を事前に知らなくてもよいように、波立つ係数をℓ₁-ボールに正射影するウェーブレットベースのノイズ除去手法を提案する。この手法は、ℓ₁ノルムのepigraph集合への直交射影を用いて、しきい値の自動推定を可能にし、スパarsityと線形代数を活用して、効率的なO(K log K)アルゴリズムにより最適なソフトしきい値を決定する。この結果、テスト信号全体で平均SNR向上が18.2–19.1 dBに達し、性能が向上した。

ABSTRACT

Both wavelet denoising and denosing methods using the concept of sparsity are based on soft-thresholding. In sparsity based denoising methods, it is assumed that the original signal is sparse in some transform domains such as the wavelet domain and the wavelet subsignals of the noisy signal are projected onto L1-balls to reduce noise. In this lecture note, it is shown that the size of the L1-ball or equivalently the soft threshold value can be determined using linear algebra. The key step is an orthogonal projection onto the epigraph set of the L1-norm cost function.

研究の動機と目的

• ノイズ分散が未知である状況におけるウェーブレットノイズ除去におけるしきい値選択の課題に対処すること。
• 線形代数とℓ₁ノルムのepigraph集合を用いて、最適なℓ₁-ボールのサイズまたはソフトしきい値を決定する手法を開発すること。
• ウェーブレットドメインにおける信号のスパarsityを活用し、効率的な射影アルゴリズムを用いてノイズ除去性能を向上させること。
• ノイズ分散の推定を回避するため、しきい値選択を直交射影問題として定式化すること。

提案手法

• 本手法は、ノイズあり係数とノイズ除去係数の差のℓ₂ノルムを最小化する制約付き最適化問題としてウェーブレットノイズ除去を定式化する。制約は、ノイズ除去係数のℓ₁ノルムがサイズパラメータ$d_i$で上限を持つこと。
• $K$をウェーブレットサブシグナルの長さとする$\mathbb{R}^{K+1}$におけるℓ₁ノルムのepigraph集合を導入し、$\sum_n |w[n]| \leq z$（$z$はℓ₁-ボールのサイズ）という制約を表現する。
• 絶対値のウェーブレット係数をソートし、累積和と順序付き大きさに基づいてしきい値$\theta_i$を計算するO(K log K)アルゴリズムにより、最適な射影を計算する。
• ソフトしきい値処理$ w_{pi}[n] = \text{sign}(w_i[n]) \cdot \max(|w_i[n]| - \theta_i, 0) $は、この射影から導出され、$\theta_i$はボールサイズ$d_i$と解における非ゼロ係数の数から決定される。
• ノイズ分散の明示的推定を避けるために、最大可能なウェーブレットサブシグナルのℓ₁ノルム$d_{\text{max},i} = \sum_n \text{sign}(w_i[n]) w_i[n]$を用いて、データから直接ℓ₁-ボールサイズを推定する。
• 本手法はハイパスウェーブレットサブバンドに適用され、ローパスサブバンドはそのままであり、逆ウェーブレット変換によりノイズ除去信号が再構成される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ウェーブレットノイズ除去において、ノイズ分散の事前知識がなければ、ℓ₁-ボールサイズやソフトしきい値をどのように推定できるか。
• RQ2 ℓ₁ノルムのepigraph集合を用いることで、数値的に安定かつ効率的なウェーブレットベースのしきい値選択法を導出できるか。
• RQ3 ウェーブレット係数の縮小における、ℓ₁-ボールサイズとそれに対応するソフトしきい値との関係は何か。
• RQ4 ノイズ分散が未知である場合、本手法は標準的なユニバーサルしきい値法と比較して、SNR性能で優れているか。
• RQ5 O(K log K)の複雑度を持つソーティングベースのアルゴリズムを用いて、ℓ₁-ボールへの射影を効率的に計算できるか。

主な発見

• 提案手法は、6つのテスト信号全体で平均SNR向上が18.2–19.1 dBに達し、ノイズ分散が未知である場合に標準的ウェーブレットノイズ除去を著しく上回る性能を示した。
• 「cusp」信号では、ピラミッド法を用いて平均出力SNRが28.1 dBに達したのに対し、ウェーブレット法では24.8 dBであった。
• epigraph集合の定式化を用いることで、データから直接しきい値を導出するため、ノイズ分散の推定を不要にした。
• O(K log K)アルゴリズムにより、ℓ₁-射影が効率的に計算され、リアルタイム信号ノイズ除去応用への実装が可能になった。
• ピecewise regularおよびcusp信号を含む多様な信号タイプにわたり、性能が安定しており、一貫したSNR向上が得られた。
• しきい値$\theta_i$は、ボールサイズ$d_i$とウェーブレット係数の順序付き大きさから導出され、最適なスパarsity促進的縮小を保証する。