[論文レビュー] Dense domains, symmetric operators and spectral triples

Iain Forsyth, Bram Mesland+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 7, 2013

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 13被引用数 15

ひとこと要約

この論文は、代数がディラック作用素の定義域を保存しないという弱化されたunbounded Kasparovモジュールの定義——特に、そのような定義が、解像核がコンパクトであっても、well-definedなFredholmモジュールを生じないことを示している。単位区間および単位円板上の対称作用素の自己共役拡張を用いて、作用素 $ F = \mathcal{D}(1+\mathcal{D}^2)^{-1/2} $ と $ a $ の交換子 $[F, a]$ がコンパクトでない明示的反例を構成した。これは、文献における、このような構造が $ K $-ホモロジー類を定義するとする主張を無効にしている。

ABSTRACT

This article is about erroneous attempts to weaken the standard definition of unbounded Kasparov module (or spectral triple). We present counterexamples to claims in the literature that Fredholm modules can be obtained from these weaker variations of spectral triple. Our counterexamples are constructed using self-adjoint extensions of symmetric operators.

研究の動機と目的

• 文献においてFredholmモジュールを生じると主張する弱化されたunbounded Kasparovモジュールの定義の妥当性に疑問を呈すること。
• スペクトル三重項の有界変換がFredholmモジュールを定義するための、正確な定義域条件を同定すること。
• [4, pp. 164–165] および [3, Theorems 1.2, 1.3, 6.2] における自己共役拡張に依存しない $ K $-ホモロジー類に関する誤った主張を是正すること。
• 代数が $ \mathcal{D} $ の定義域を保存しない場合、$ \mathcal{D} $ がコンパクトな解像核を持つとしても、$[F, a]$ のコンパクト性が失敗することを示すこと。

提案手法

• 単位区間および単位円板上の対称作用素の有限および無限の欠損指数を持つ自己共役拡張を用いて反例を構成すること。
• $ F = \mathcal{D}(1+\mathcal{D}^2)^{-1/2} $ の有界変換を分析し、$ a \in C^\infty(\mathbb{D}) $ に対して交換子 $[F, a]$ を計算すること。
• スペクトル理論および解像核の積分表現を用いて、$[F, a]$ のコンパクト性を検討し、特に項 $ \mathcal{D}[(1+\mathcal{D}^2)^{-1/2}, a] $ に注目すること。
• ヒルベルト空間内のベクトル列のノルム推定を確立し、$ \|\zeta_n\| \geq \frac{1}{4\pi^2} $ が極限で成り立つことを示し、非コンパクト性を示すこと。
• $ P_+ r e^{-i\theta} P_-$ がコンパクトでないことを示す。これは、有界列に作用させた際に収束部分列が存在しないことを示すことによって行う。
• Baaj-Julgおよび[7]のコーシー積分公式および解像核の恒等式を活用し、標準的証明枠組みにおいて定義域の保存がなぜ必要となるかを正当化すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 代数が $ \mathcal{D} $ の定義域の稠密部分集合のみを保存するという弱化されたスペクトル三重項の定義でも、有界変換によってFredholmモジュールが得られるか？
• RQ2 解像核がコンパクトな対称作用素の自己共役拡張が、交換子 $[F, a]$ がコンパクトでない場合に、Fredholmモジュールを生成できるか？
• RQ3 [3] で主張されているように、スペクトル三重項の $ K $-ホモロジー類は自己共役拡張の選択に依存しないか？
• RQ4 代数 $ a $ が $ \mathrm{dom}(\mathcal{D}) $ を保存しない場合、標準的Baaj-Julg証明における $[F, a]$ のコンパクト性の証明がなぜ失敗するのか？
• RQ5 有界変換における交換子 $[F, a]$ のコンパクト性を保証するために、$ \mathcal{D} $ の定義域が果たす役割は何か？

主な発見

• 単位円板上の自己共役拡張 $ \mathcal{D}_P $ に対し、$ \mathcal{D}_P $ がコンパクトな解像核を持つにもかかわらず、交換子 $[F, re^{-i\theta}]$ はコンパクトでない。
• 交換子の行列要素によって定義される列 $ \{\zeta_n\} $ に対して、$ \liminf_{n\to\infty} \|\zeta_n\|^2 \geq \frac{1}{4\pi^2} $ が成り立つ。これは、ゼロに収束しないことを示し、コンパクト性を否定する。
• すべての $ k $ に対して $ \langle \zeta_n | k,+ \rangle \to 0 $ であるが、$ \|\zeta_n\| \not\to 0 $ であるため、$ \{\zeta_n\} $ にはノルム収束する部分列が存在しない。これはコンパクト性に反する。
• $ P_+ r e^{-i\theta} P_-$ はコンパクトでない。これは、コンパクト作用素から非コンパクト作用素を引いたものと異なるためである。
• [4, Proposition 17.11.3] で主張されている「条件(1’)がFredholmモジュールを意味する」という主張は誤りであり、単位区間上の反例によって示された。
• [3] で主張されているように、スペクトル三重項の $ K $-ホモロジー類は自己共役拡張に依存しないという主張は誤りである。異なる拡張は非同値なFredholmモジュールを生じる。