[論文レビュー] Dense Elements and Classes of Residuated Lattices

Claudia Mureșan|arXiv (Cornell University)|Jan 12, 2009

Advanced Algebra and Logic被引用数 14

ひとこと要約

本稿は、分配束における密な要素、ラディカル、およびリフト可能なブール中心の性質を調査し、BL代数および特定の式を満たすGlivenko分配束がリフト可能なブール中心性質を有することを確立する。本稿では、局所的および半局所的構造を一般化する準局所的分配束を定義し、特徴づける。また、商が準局所的であるようなGlivenko分配束が、その商が準局所的であるならば、その分配束自体も準局所的であることを証明する。

ABSTRACT

In this paper we study the dense elements and the radical of a residuated lattice, residuated lattices with lifting Boolean center, simple, local, semilocal and quasi-local residuated lattices. BL-algebras have lifting Boolean center; moreover, Glivenko residuated lattices which fulfill a certain equation (that is satisfied by BL-algebras) have lifting Boolean center.

研究の動機と目的

• 分配束における密な要素およびラディカルの構造を特徴づけること。
• リフト可能なブール中心性質を調査し、その性質を満たす分配束のクラスを同定すること。
• 局所的および半局所的構造の一般化として、準局所的分配束を定義し、その性質を分析すること。
• 局所的、半局所的、単純的、および準局所的分配束の間の関係を明確化すること。
• 分配束が準局所的であるための条件を確立する。特にGlivenkoの場合に注目する。

提案手法

• →, ⊙, ¬, ↔ などの残留およびラティス的演算を用いて、密な要素、ラディカル、およびブール中心を定義する。
• 構造的性質や同型を分析するために、商構成 A/Ds(A) および A/F を適用する。
• スペクトル的位相およびフィルター理論（素フィルター、極大フィルター、準素フィルター、準素フィルター）を用いて、ラティス構造を研究する。
• 写像 θ: A/Ds(A) → Reg(A) で θ(a/Ds(A)) = ¬¬a と定義される同型を用いて、密な商と正則部分代数との関係を確立する。
• Glivenko 条件 ¬¬(¬¬a → a) = 1 および方程式 (¬a→¬b)→¬b = (¬b→¬a)→¬a を用いて構造的帰結を導出する。
• 順序 ord(a) および正則要素の概念を用いて、局所的および単純な格子を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのクラスの分配束がリフト可能なブール中心性質を有するか？
• RQ2 ラディカル、密な要素、および商 A/Ds(A) の間の関係は何か？
• RQ3 Glivenko分配束が準局所的であるための条件は何か？
• RQ4 局所的、半局所的、単純的、および準局所的分配束のクラスどうしの関係は何か？
• RQ5 A/Ds(A) が準局所的であるとき、A が準局所的であるとは限らないが、その条件は何か？

主な発見

• BL代数は、A/Ds(A) と Reg(A) の同型写像により、リフト可能なブール中心性質を有することが示された。
• Glivenko分配束が方程式 (¬a→¬b)→¬b = (¬b→¬a)→¬a を満たすための必要十分条件は、Reg(A) がMV代数であることである。
• Glivenko分配束において、商 A/Ds(A) は Reg(A) に同型であり、この同型は残留束構造を保存する。
• 分配束 A が準局所的であることと、任意の a ∈ A に対して、e ∈ B(A) および n ∈ ℕ* が存在して aⁿ ⊙ e = 0 かつ (¬a)ⁿ ⊙ (¬e) = 0 が成り立つこととは同値である。
• 準局所的分配束のクラスは、局所的および半局所的格子を真に拡張し、局所的MV代数およびBL代数の弱ブール積を含む。
• A/Ds(A) が準局所的であるが A が準局所的でないような分配束 A が存在する。これは、密なイデアルによる商の過程で準局所性が保存されないことを示している。