[論文レビュー] Dense entire curves in Rationally Connected manifolds

Frédéric Campana, J. Winkelmann|arXiv (Cornell University)|May 3, 2019

Meromorphic and Entire Functions参考文献 32被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、コンビネーションスムージング技法を用いて、有理的連結な複素射影多様体における、順序零のメトリック的に稠密な整関数的曲線の存在を確立し、特殊多様体に関する予想を裏付ける。さらに、このような曲線が特異点集合を避けることができること、および分岐被覆に引き上げられないこと、すなわち弱ヒルベルト性のネヴァンリンナ理論的類似を支持する。

ABSTRACT

We show the existence of metrically dense entire curves in rationally connected complex projective manifolds confirming for this case a conjecture according to which such entire curves on projective manifolds exist if and only if these are "special". We also show that such a dense entire curve may be chosen in such a way that it does not lift to any of its ramified covers, answering in this case a question of Corvaja and Zannier about the Nevanlinna analog of the `weak Hilbert property' of arithmetic geometry. We consider briefly the other test case of the conjecture, namely manifolds with $c_1=0$. Furthermore we discuss entire curves in normal rational surfaces avoiding the singular locus.

研究の動機と目的

• 有理的連結な複素射影多様体に、メトリック的に稠密な整関数的曲線の存在を証明し、特殊多様体に関する予想を裏付ける。
• このような曲線が、順序零の成長を示すように構成できることを示し、有理的多様体のケースを超えた関数論的補間を拡張する。
• 稠密な整関数的曲線が分岐被覆に引き上げられないことを示し、弱ヒルベルト性のネヴァンリンナ理論的類似を支持する。
• 結果を対数終次の正則有理的表面およびアーベルまたは楕円的曲面にファイブレーションされたカラビ＝ヤウ3次元多様体に拡張する。
• 成長順序および特徴関数が、特殊多様体上に存在する整関数的曲線のネヴァンリンナ理論において果たす役割を調査する。

提案手法

• Kollár-Miyaoka-Moriのコンビネーションスムージング技法を用いて、有理的曲線の極限として整関数的曲線を構成する。
• 特徴関数を制御する有理的曲線の再帰的近似を用い、順序零の成長を保証する。
• 連続関数 $ g(r) $ を定義し、$ \lim_{r\to\infty} \frac{\log g(r)}{\log r} = 0 $ を満たすようにし、特徴関数 $ T_f(r) $ を上から抑える。
• 有理的曲線の列 $ f_n $ を構成し、$ r \geq 2 $ に対して $ T_{f_n}(r) \leq \left(1 - \frac{1}{2^{n+1}}\right)g(r) $ となるように誤差項を減少させる。
• 極限 $ f = \lim f_n $ をとることで、$ T_f(r) \leq g(r) $ が保証され、これにより $ \rho_f = 0 $ が導かれる。
• 最小モデルプログラムおよび対数終次のペア理論を用いて、正則な表面における特異点集合を避ける曲線を構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有理的連結多様体は、メトリック的に稠密かつ順序零の整関数的曲線を有するか？
• RQ2 有理的連結多様体における整関数的曲線は、分岐被覆への引き上げを避けるように構成可能であり、弱ヒルベルト性のネヴァンリンナ理論的類似を支持するか？
• RQ3 商特異点を持つ正則な射影的表面は、どのような条件下で特異点集合を避ける稠密な整関数的曲線を有するか？
• RQ4 整関数的曲線の成長順序 $ \rho_f $ は、周囲の多様体の幾何的構造とどのように関係するか？
• RQ5 特徴関数 $ T_f(r) $ は、整関数的曲線の順序および稠密性を制御するために果たす役割は何か？

主な発見

• 本稿では、任意の有理的連結な複素射影多様体 $ X $ に対して、順序 $ \rho_f = 0 $ を持つ整関数的曲線 $ f: \mathbb{C} \to X $ の構成を行い、特殊多様体に関する予想を裏付ける。
• このような曲線は、任意の可算集合 $ M \subset X $ を通るように、および任意の固定された超曲面 $ D $ を横断的に交わるように構成可能である。
• 構成された曲線は、任意の非自明な分岐被覆 $ Y \to X $ に引き上げられないことが示され、有理的連結多様体における弱ヒルベルト性のネヴァンリンナ理論的類似を裏付ける。
• 商特異点を持つ正則な射影的表面 $ X $ に対して、$ \mathbb{Q} $-因子 $ \Delta $ が存在し、$ K_X + \Delta $ が $ \mathbb{Q} $-自明であり、かつ $ (X, \Delta) $ が対数終次のとき、特異点集合を避ける稠密な整関数的曲線が存在する。
• 構成により、$ \lim_{r\to\infty} \frac{\log g(r)}{\log r} = 0 $ を満たす関数 $ g $ に対して $ T_f(r) \leq g(r) $ が保証され、これにより $ \rho_f = 0 $ が導かれる。
• GrassiおよびOguisoの結果を用いて、アーベル曲面または楕円的曲線にファイブレーションされたカラビ＝ヤウ3次元多様体に対しても結果が拡張可能である。