[論文レビュー] Dense induced bipartite subgraphs in triangle-free graphs

Matthew Kwan, Shoham Letzter+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 29, 2018

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 19被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、最小次数 $d$ の $H$-free なグラフが、最小次数が $c_H \log d / \log \log d$ 以上である誘導部分グラフを含むことを確立している。これは、エスペレット、カン、トマッセが提起した予想をほぼ完全に裏付けるものである。この結果は、対数的要因を除いて最適であり、密度の高い三角形を含まないグラフへと拡張可能で、この場合の境界は $\Theta(\log d)$ に改善され、極値的グラフ理論における長年の問題を解決する。

ABSTRACT

The problem of finding dense induced bipartite subgraphs in $H$-free graphs has a long history, and was posed 30 years ago by Erdős, Faudree, Pach and Spencer. In this paper, we obtain several results in this direction. First we prove that any $K_t$-free graph with minimum degree at least $d$ contains an induced bipartite subgraph of minimum degree at least $c_t \log d/\log \log d$, confirming (asymptotically) several conjectures by Esperet, Kang and Thomassé. Complementing this result, we further obtain optimal bounds for this problem in the case of dense triangle-free graphs, and we also answer a question of Erdős, Janson, Łuczak and Spencer.

研究の動機と目的

• 三角形を含まないグラフにおける誘導二部グラフに関する、エラーズ、フォードリー、パッチ、スペンサーによる長年の予想を解決すること。
• 最小次数 $d$ の $H$-free グラフにおける誘導二部グラフの最小次数に対するタイトな下界を確立すること。
• 密度の高い三角形を含まないグラフにおける誘導二部グラフの最小次数の段階的転移挙動を解明すること。
• 制限付きグラフクラスにおける Max Cut 問題および誘導二部グラフに関する先行研究を改善すること。
• $d$-退化で三角形を含まないグラフにおける誘導二部グラフと分数彩色数との関係を調査すること。

提案手法

• 確率的および極値的組合せ論的手法を用いて、三角形を含まないグラフにおける主結果を証明する。
• グラフのブロー・アップと誘導部分グラフの性質に基づく還元論法により、一般の $H$-free ケースを三角形を含まないケースに還元する。
• ランダムグラフ構成を用いて、$\log d / \log \log d$ の境界が対数的要因を除いて最適であることを示す。
• $n$ 頂点、最小次数 $d$ の三角形を含まないグラフにおける誘導二部グラフの最小次数の最大値を表す関数 $g(n,d)$ を分析し、$d = \sqrt{n}$ で段階的転移が発生することを特定する。
• 特定の三角形を含まないグラフのブロー・アップを用いて極値的グラフを構成し、$g(n,d)$ に対する上界を確立する。
• 分数彩色と彩色数との関連を活用し、代替的証明戦略を検討し、境界のタイトさを予想する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 固定されたグラフ $H$ に対して、最小次数 $d$ の $H$-free グラフにおける誘導二部グラフの最大最小次数は何か？
• RQ2 $H$-free グラフにおける誘導二部グラフの境界 $\Omega(\log d / \log \log d)$ を $\Omega(\log d)$ に改善できるか？
• RQ3 三角形を含まないグラフにおける誘導二部グラフの最大最小次数は、$n$ と $d$ の関数としてどのように振る舞うか？
• RQ4 $d$-退化で三角形を含まないグラフの分数彩色数は $O(d / \log d)$ で有界であるか？ これは誘導二部グラフに何を意味するか？
• RQ5 特に $d = \sqrt{n}$ の周辺で、三角形を含まないグラフにおける誘導二部グラフの最小次数の正確な閾値挙動は何か？

主な発見

• 任意の固定されたグラフ $H$ に対して、最小次数 $d$ の $H$-free グラフは、最小次数が $c_H \log d / \log \log d$ 以上である誘導二部グラフを含む。ここで $c_H \geq \varepsilon^{|H|}$ であり、$\varepsilon > 0$ である。
• $\Omega\left(\log d / \log \log d\right)$ の境界は、ランダムグラフ構成により、一般には $\Omega(\log d)$ の境界が不可能であることが示され、ほぼ最適である。
• 三角形を含まないグラフで $d \leq \sqrt{n}$ の場合、誘導二部グラフの最大最小次数は $\Theta(\log d)$ であり、タイトな境界が確認された。
• 三角形を含まないグラフで $\sqrt{n} < d \leq n/2$ の場合、誘導二部グラフの最大最小次数は $\Theta(d^2 \log d / n)$ であり、密度の著しい低下が示された。
• $d \geq n^{2/3}$ の場合、誘導二部グラフの最大最小次数は $O(d^2 / n)$ であり、この境界は対数的要因を除いてタイトである。
• 密度領域（$d \geq n^{2/3}$）における $g(n,d)$ の上界は、特定の三角形を含まないグラフのブロー・アップ構成により達成され、結果のタイトさが示された。