[論文レビュー] Dense locally finite subgroups of Automorphism Groups of Ultraextensive Spaces

Mahmood Etedadialiabadi, Su Gao+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 29, 2020

Advanced Topology and Set Theory参考文献 32被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、バーリングの予想を確認する。Hallの普遍的可算局所有限群が、すべての既知の無限超拡張空間、すなわちウリソン空間、有理数的ウリソン空間、ランダムグラフ、および普遍的$K_n$-自由グラフを含む、等長群および自己同型群に稠密に埋め込まれることを証明している。有限距離空間および有限群作用を伴う関係構造のFraïssé極限を用いて、標準的な稠密埋め込みを構成し、$∞$-距離空間の等長群をその距離値集合によって特徴づけた。

ABSTRACT

We verify a conjecture of Vershik by showing that Hall's universal countable locally finite group can be embedded as a dense subgroup in the isometry group of the Urysohn space and in the automorphism group of the random graph. In fact, we show the same for all automorphism groups of known infinite ultraextensive spaces. These include, in addition, the isometry group of the rational Urysohn space, the isometry group of the ultrametric Urysohn spaces, and the automorphism group of the universal $K_n$-free graph for all $n\\geq 3$. Furthermore, we show that finite group actions on finite metric spaces or finite relational structures form a Fra\\"iss\\'{e} class, where Hall's group appears as the acting group of the Fra\\"iss\\'{e} limit. We also embed continuum many non-isomorphic countable universal locally finite groups into the isometry groups of various Urysohn spaces, and show that all dense countable subgroups of these groups are mixed identity free (MIF). Finally, we give a characterization of the isomorphism type of the isometry group of the Urysohn $\\Delta$-metric spaces in terms of the distance value set $\\Delta$.

研究の動機と目的

• バーリングの予想を検証する。すなわち、Hallの普遍的可算局所有限群が、ウリソン空間の等長群およびランダムグラフの自己同型群に稠密に埋め込まれることを示すこと。
• この結果を、普遍的$∞$-距離空間、超距離的ウリソン空間、および普遍的$K_n$-自由グラフを含む、すべての既知の無限超拡張空間へ一般化すること。
• 有限距離空間または関係構造における有限群作用が、Fraïsséクラスをなすこと、およびHallの群がこのような構造のFraïssé極限として生じることを示すこと。
• ウリソン$∞$-距離空間の等長群に稠密に埋め込まれた、連続体個の非同型な可算普遍局所有限群（全能的群）を構成すること。
• ウリソン$∞$-距離空間の等長群の同型型を、その距離値集合$∞$によって特徴づけること。

提案手法

• 等長による有限群作用を伴う有限$∞$-距離空間のFraïssé極限を構成するためのFraïsséクラス理論の使用。
• ローゼンダールによる有限距離空間における拡張のためのRZ性質（Ribes–Zalesskiï¿¿性質）の特徴づけの応用。
• HL性質（Herwig–Lascar）の適応および有限指数拡張における閉包性を用いて、禁止部分構造を伴う関係構造を扱うこと。
• Fraïssé極限を介して、Hallの群$∞$を超拡張空間の等長群および自己同型群に標準的な稠密埋め込みを構成すること。
• 全能的群をHallの群の一般化として定義し、非可算個の非同型な稠密局所有限部分群を構成するための使用。
• 安定化部分群の位相的単純性および共轭類の性質を用いて、異なるウリソン$∞$-距離空間の等長群間の同型を特徴づけること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Hallの普遍的可算局所有限群$∞$は、ウリソン空間の等長群およびランダムグラフの自己同型群に稠密に埋め込まれるか？
• RQ2 有限群作用を伴う有限$∞$-距離空間のFraïssé極限は、普遍的$∞$-距離空間の等長群においてHallの群を稠密部分群として得られるか？
• RQ3 ウリソン$∞$-距離空間の等長群に稠密に埋め込まれる、連続体個の非同型な可算局所有限群は存在するか？
• RQ4 ウリソン$∞$-距離空間の等長群の同型型は、その距離値集合$∞$によって完全に特徴づけられるか？
• RQ5 非同値の距離値集合$∞$および$∜$に対して、一方の等長群に稠密に埋め込まれた可算局所有限部分群が、他方の群に稠密部分群として埋め込めないものは存在するか？

主な発見

• Hallの普遍的可算局所有限群$∞$は、ウリソン空間$∞$の等長群に稠密に埋め込まれる。
• 同じ群$∞$は、有理数的ウリソン空間$∞$の等長群に稠密に埋め込まれる。
• 任意の距離値集合$∞$に対して、普遍的$∞$-距離空間$∞$の等長群には、Hallの群$∞$の稠密なコピーが含まれる。
• 超距離的ウリソン空間の等長群にも、Hallの群$∞$の稠密なコピーが含まれる。
• ランダムグラフ$∞$および$n\geq3$のための普遍的$K_n$-自由グラフそれぞれの自己同型群には、Hallの群$∞$の稠密なコピーが含まれる。
• 連続体個の非同型な可算全能的群が存在し、それぞれがウリソン$∞$-距離空間の等長群に稠密に埋め込まれる。