[論文レビュー] Dense point sets have sparse Delaunay triangulations

Jeff Erickson|ArXiv.org|Oct 15, 2001

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 86被引用数 35

ひとこと要約

本稿は、任意の $ n $ 個の点からなる $ \mathbb{R}^3 $ 内の点集合のデローランの三角形分割の複雑さが $ O(\Delta^3) $ であることを証明している。ここで $ \Delta $ は点集合のスプレッド（最大距離と最小距離の比）を表す。これは、スプレッド $ \Delta = O(n^{1/3}) $ の密な点集合に対して線形となる。この結果は、球面キャップと順序 $ k $ スプレッドに関する幾何的議論に依拠しており、球の正則三角形分割や一様な表面サンプルへの応用も含む。また、重み付き三角形分割の特定のケースに対して $ \Omega(n\Delta) $ のタイトな下界が確立されている。

ABSTRACT

The spread of a finite set of points is the ratio between the longest and shortest pairwise distances. We prove that the Delaunay triangulation of any set of n points in R^3 with spread D has complexity O(D^3). This bound is tight in the worst case for all D = O(sqrt{n}). In particular, the Delaunay triangulation of any dense point set has linear complexity. We also generalize this upper bound to regular triangulations of k-ply systems of balls, unions of several dense point sets, and uniform samples of smooth surfaces. On the other hand, for any n and D=O(n), we construct a regular triangulation of complexity Omega(nD) whose n vertices have spread D.

研究の動機と目的

• 3次元デローラン三角形分割の複雑さに関する理論的・実用的ギャップを解消すること。実際には最悪ケースの $ \Omega(n^2) $ の複雑さは稀である。
• スパースなデローラン三角形分割を保証する幾何的制約（特にスプレッド）を同定すること。
• 従来のランダムまたは均等に配置された点集合に対する境界を、密で構造的な点集合へとスプレッドパラメータを用いて一般化すること。
• スプレッドに基づいた三角形分割の複雑さに関するタイトな上界と下界を確立し、正則三角形分割や表面サンプルへの応用を拡張すること。

提案手法

• スプレッド $ \Delta $ を点集合における最大距離と最小距離の比として定義する。
• 球面キャップを用いた幾何的パッキング議論により、デローラン辺の数を制限し、各点が最悪ケースで高々 $ O(\Delta^3) $ 個の近隣点を持つことを示す。
• スプレッド測度が近接ペアに敏感でないようにするため、順序 $ k $ スプレッド $ \Delta_k $ を導入し、デローラン三角形分割の複雑さが $ O(k^2\Delta_k^3) $ であることを証明する。
• 中心のスプレッドが $ \Delta $ である $ k $-プレイの互いに交差しない球の集合に対する正則三角形分割への分析を拡張し、複雑さが $ O(k^2\Delta^3) $ であることを示す。
• 滑らかな表面の均一またはランダムなサンプルに対して、デローラン三角形分割の複雑さが $ O(\Delta^3) $ であることを示す。
• 重ね合わされる球とアフィン変換を用いて、スプレッド $ \Delta $ の $ n $ 個の点に対する正則三角形分割の最悪ケース例を構築し、複雑さが $ \Omega(n\Delta) $ であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 3次元デローラン三角形分割の複雑さは、点数 $ n $ の代わりにスプレッド $ \Delta $ で抑えられるか？
• RQ2 スプレッド $ \Delta = O(n^{1/3}) $ の密な点集合のデローラン三角形分割は常にサイズ線形か？
• RQ3 上界 $ O(\Delta^3) $ は、球の正則三角形分割や密な点集合の集合への拡張が可能か？
• RQ4 スプレッド $ \Delta $ が大きい場合、デローラン三角形分割の最悪ケース複雑さは何か？ これは $ n $ と比較するとどうなるか？
• RQ5 上界は高次元へ一般化可能か？ また、幾何的パッキングは単体の複雑さを制限する役割を果たすか？

主な発見

• 任意の $ \mathbb{R}^3 $ 内の $ n $ 点集合のデローラン三角形分割の複雑さは、スプレッド $ \Delta $ に対して $ O(\Delta^3) $ である。これは $ n $ とは独立である。
• この境界はすべての $ \Delta = O(\sqrt{n}) $ に対してタイトであり、$ \Delta = O(n^{1/3}) $ の密な点集合では線形複雑さを意味する。
• $ k $-プレイの球の集合で中心のスプレッドが $ \Delta $ の場合、正則三角形分割の複雑さは $ O(k^2\Delta^3) $ である。
• 滑らかな表面の均一またはランダムなサンプルのデローラン三角形分割の複雑さは $ O(\Delta^3) $ である。
• スプレッド $ \Delta $ の $ n $ 個の点に対する正則三角形分割の最悪ケース下界として $ \Omega(n\Delta) $ が確立され、上界がこの領域でタイトであることが示された。
• 確率的インクリメンタルアルゴリズムにより、このような三角形分割が期待時間 $ O(\Delta^3 \log n) $ で構築可能である。