[論文レビュー] Dense subsets of boundaries of CAT(0) groups

Tetsuya Hosaka|ArXiv.org|Oct 24, 2005

Geometric and Algebraic Topology参考文献 6被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、CAT(0)群作用の境界が最小である、すなわちすべての軌道が境界に稠密であるような条件を確立する。群 $G$ がCAT(0)空間 $X$ 上に幾何的に作用し、中心化子が有限で、固定点集合の補集合が非連結であり、かつ凸で $G$-不変でない成分をもつような元 $g_0$ が存在するならば、軌道 $G\alpha$ および無限位数の群元の境界上の固定点の集合が $ abla X$ に稠密であることを証明する。この結果は、反射の中心化子が有限であるコクセター系に適用可能である。

ABSTRACT

In this paper, we study dense subsets of boundaries of CAT(0) groups. Suppose that a group $G$ acts geometrically on a CAT(0) space $X$ and suppose that there exists an element $g_0\in G$ such that (1) $Z_{g_0}$ is finite, (2) $X\setminus F_{g_0}$ is not connnected, and (3) each component of $X\setminus F_{g_0}$ is convex and not $g_0$-invariant, where $Z_{g_0}$ is the centralizer of $g_0$ and $F_{g_0}$ is the fixed-point set of $g_0$ in $X$ (that is, $Z_{g_0}=\{h\in G| g_0h=hg_0\}$ and $F_{g_0}=\{x\in X| g_0x=x\}$). Then we show that each orbit $G α$ is dense in the boundary $\partial X$ (i.e.\ $\partial X$ is minimal) and the set $\{g^{\infty} | g\in G, o(g)=\infty\}$ is also dense in the boundary $\partial X$. We obtain an application for dense subsets on the boundary of a Coxeter system.

研究の動機と目的

• CAT(0)群作用の境界が最小である、すなわちすべての軌道が境界に稠密であるような十分条件を特定すること。
• 無限位数の群元の固定点の集合が、CAT(0)空間の境界に稠密である条件を特定すること。
• 群内のある1つの元 $g_0$ の群論的および幾何的性質に基づいて、境界の最小性を特徴づける基準を提示すること。
• コクセター系、特にデイヴィス複体に対して、主定理を応用すること。反射の中心化子が有限である場合を分析する。

提案手法

• 群元 $g_0$ の存在に基づく基準を用いる。ここで、$g_0$ の中心化子 $Z_{g_0}$ は有限であり、$X$ 内での固定点集合 $F_{g_0}$ の補集合は非連結である。
• 各成分が凸であり $g_0$-不変でないものと仮定し、制御された変位を持つ群元の列を構成する。
• 部分集合 $A\subset G$ の極限集合 $L(A)$ を主要な道具として用い、定理2.1により $ abla X$ 上の固定点集合 $\mathcal{F}_g$ と関連付ける。
• 稠密性の基準を用いる：$d(x_0, gx_0) > M$ となる十分大きな変位に対して、ある $\alpha$ が集合 $A$ に存在し、$d(gx_0, \operatorname{Im}\xi_\alpha) \leq N$ が成り立つならば、$A$ は $ abla X$ に稠密である。
• 元 $g_0$ 及びその共役の作用の力学的性質を分析し、$X\setminus F_{g_0}$ の成分の凸性および分離性を用いて、任意の境界点の軌道が稠密であることを示す。
• 無限位数の $h$ に対して $h^\infty$ に収束する測地線を構成し、その像が群の作用による像の近傍と交差することを示す。これにより、集合 $\{g^\infty \mid o(g)=\infty\}$ の稠密性が保証される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのような群論的および幾何的条件下で、CAT(0)群作用の境界が最小になるか。
• RQ2 無限位数の群元の固定点の集合が、CAT(0)空間の境界に稠密になるのはいつか。
• RQ3 群内の1つの元 $g_0$ の性質によって、境界の最小性を保証できるか。
• RQ4 コクセター系における反射 $r$ が有限中心化子を持つ場合、デイヴィス複体の境界が最小になるか。

主な発見

• 群 $G$ がCAT(0)空間 $X$ 上に幾何的に作用し、中心化子が有限で、$X\setminus F_{g_0}$ が非連結であり、各成分が凸かつ $G$-不変でないような $g_0\in G$ が存在するならば、$ abla X$ は最小である。
• 同じ条件下で、集合 $\{g^\infty \mid g\in G, o(g)=\infty\}$ は $ abla X$ に稠密である。
• コクセター系 $(W,S)$ に対して、$W$ 内で中心化子が有限であるような $s\in S$ が存在するならば、$ abla\Sigma(W,S)$ は最小であり、無限位数の元の固定点の集合は境界に稠密である。
• この結果は、デイヴィス複体における反射に適用可能である：反射 $r$ の中心化子が有限ならば、$ abla\Sigma(W,S)$ は最小である。
• 証明では、任意の $\beta\in\partial X$ および任意の $R>0$, $\epsilon>0$ に対して、$d(\xi_\beta(R), \operatorname{Im}\xi_\alpha) < \epsilon$ を満たす $\alpha\in A$ が存在することを示し、これにより $A$ の稠密性が証明される。
• 構成では、$d(x_0, gx_0)$ が十分に大きいとき、$gF_{g_0} \cap gg_0gF_{g_0} = \emptyset$ が成り立つことを利用し、無限個の異なる成分が得られ、したがって $gg_0$ が無限位数をもつことが示される。