[論文レビュー] Density in Approximation Theory

Allan Pinkus|ArXiv.org|Jan 20, 2005

Mathematical Approximation and Integration参考文献 49被引用数 26

ひとこと要約

この論文は、近似理論における基本的な密度結果を概説し、多項式、三角多項式、径方向基底関数などの関数族がコンパクト集合またはR^n上での連続関数をどのように密に近似できるかという条件に焦点を当てる。主な貢献は、Weierstrassの定理、Stone-Weierstrass、Bohman-Korovkin、および現代の関数解析的手法を含む密度の基準の包括的概説であり、径方向および多項式に基づく近似系に関する結果を含む。

ABSTRACT

Approximation theory is concerned with the ability to approximate functions by simpler and more easily calculated functions. The first question we ask in approximation theory concerns the {\it possibility of approximation}. Is the given family of functions from which we plan to approximate dense in the set of functions we wish to approximate? In this work we survey some of the main density results and density methods.

研究の動機と目的

• 連続関数空間における一様ノルム下での関数族の密度に関する基礎的および現代的結果を調査すること。
• 多項式、三角多項式、径方向関数などの特定の関数クラスが、任意の連続関数を任意に良く近似できる条件を明確にすること。
• 密度の双対空間による特徴づけおよび正の線形作用素といった重要な理論的道具を提示・解説すること。
• 特に径方向および多項式に基づく近似系について、古典的密度定理の多変数への一般化を検討すること。
• 未解決問題および最近の進展（たとえば、単一変数関数の多項式による合成関数の平行移動族の密度条件）を強調すること。

提案手法

• 関数解析的基準を用いる：ノルム空間Eの部分空間Mが稠密であるための必要十分条件は、Mに消える連続線形汎関数が恒等的にゼロであること。
• C[a,b]上の連続線形汎関数に対するRiesz表現定理を用いて、消滅汎関数を特徴付ける。
• Stone-Weierstrassの定理を用いて、コンパクトハウスドルフ空間XにおけるC(X)の部分代数へのWeierstrassの多項式近似の一般化を行う。
• Bohman-Korovkinの定理を用いて、単純なモーメント条件に基づき正の線形作用素が恒等作用素に収束する条件を分析する。
• 同次多項式の表現論を用いる：Hⁿₖ上の任意の線形汎関数は微分作用素を用いて表現可能である。
• 中心aの集合および多項式pの構造に関する幾何学的・代数的条件を用いて、span{g(‖·−a‖)}およびspan{g(p(·−a))}の密度を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 代数的多項式の空間はC[a,b]においていつ一様ノルム下で稠密か？
• RQ2 連続関数gに対して、g(‖·−a‖)の線形包はC(ℝⁿ)でいつ稠密か？
• RQ3 与えられた多項式pに対して、g(p(·−a))の線形包はC(ℝⁿ)でいつ稠密か？
• RQ4 関数g(‖·−a‖)の平行移動族は、いつC(ℝⁿ)で稠密でないか？
• RQ5 多項式関数の平行移動族の稠密性において、点の分離性の役割は何か？

主な発見

• Weierstrassの近似定理により、代数的多項式は一様ノルム下でC[a,b]に稠密であることが保証される。
• 三角多項式は、ℝ上の2π周期連続関数の空間に稠密である。
• 径方向関数に関して、g(‖·−a‖)の線形包はC(ℝⁿ)に稠密であるための必要十分条件は、gが偶数多項式でないことである。
• n=1,2,3の場合、g(p(·−a))の線形包はC(ℝⁿ)に稠密であるための必要十分条件は、{p(·−a)}がℝⁿで点を分離することである。
• n≥4の場合、pが同次多項式であるとき、点の分離性は稠密性の必要条件ではあるが十分条件ではない。
• 中心の集合𝒜が有限集合に加えて、共通点で交わる有理角倍数πのCoxeter系の直線を含む場合、g(‖·−a‖)の線形包はC(ℝ²)に稠密でない。