[論文レビュー] Density Matrices and Geometric Phases for n-state Systems

Luis J. Boya, Mark Byrd+2 more|ArXiv.org|Oct 28, 1998

Graph theory and applications参考文献 22被引用数 14

ひとこと要約

本稿は、n状態量子系の密度行列の明示的パラメータ化を提供し、非自明なアーベルおよび非アーベル幾何学的位相が出現する部分空間を特定する。密度行列空間の幾何学をユニタリ群の軌道とリトル群に関連付けることで、(n−1)-次元球面座標とSU(n)構造を用いた幾何学的位相およびエントロピーの計算フレームワークを確立し、2準位系を超える混合状態の幾何学的位相の体系的解析を可能にする。

ABSTRACT

An explicit parameterization is given for the density matrices for $n$-state systems. The geometry of the space of pure and mixed states and the entropy of the $n$-state system is discussed. Geometric phases can arise in only specific subspaces of the space of all density matrices. The possibility of obtaining nontrivial abelian and nonabelian geometric phases in these subspaces is discussed.

研究の動機と目的

• 2準位および3準位系に限らない幾何学的位相理論を、一般のn状態量子系へと拡張すること。
• SU(n)群構造を用いて、n準位系の混合状態および純粋状態密度行列を体系的にパラメータ化すること。
• 非自明な幾何学的位相（アーベルおよび非アーベルを含む）が出現する、密度行列空間内の特定の部分空間を同定すること。
• 密度行列空間の幾何学をSU(n)軌道のリトル群に関連づけ、位相生成構造の分類を可能にする。
• von Neumannエントロピーを(n−1)-次元球面上の固有値分布の関数として定義・解析し、状態の純粋度を定量すること。

提案手法

• n準位密度行列を(n−1)-次元球面上の固有値とSU(n)ユニタリ行列を用いてパラメータ化し、ブロッホ球の一般化を行う。
• SU(n)が密度行列に作用する軌道構造を用いて、不変部分空間および幾何学的位相行動を支配する関連するリトル群を同定する。
• von Neumannエントロピー S(ρ) = −Tr(ρ ln ρ) を(n−1)-次元球面の成分の二乗で表現し、エントロピーと幾何座標を結びつける。
• SU(n)軌道上でのBerry接続のホロノミーを解析することで、幾何学的位相が発生する場所を同定するフレームワークを適用する。
• SU(n)のEulerパラメータ化を用いて、特にSU(3)系において幾何学的位相の明示的計算を可能にする。
• 密度行列の空間を、U(1)ファイバーが全空間位相に対応する複素射影空間CP^{n−1}上のファイバー束として特徴付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 n準位密度行列空間のどの部分空間が非自明な幾何学的位相を支持するか、その存在を決定づける要因は何か？
• RQ2 SU(n)軌道のリトル群を用いた分類によって、n準位系の幾何学的位相構造をどのように分類できるか？
• RQ3 SU(n)対称性群が、発生可能な幾何学的位相の種別（アーベル対比非アーベル）をどのように決定づけるか？
• RQ4 von Neumannエントロピーは密度行列空間全体でどのように変化するか？ また、定数エントロピー面に対応する幾何的特徴は何か？
• RQ5 (n−1)-次元球面座標とSU(n)行列による密度行列のパラメータ化を用いて、任意のnについて幾何学的位相を体系的に計算できるか？

主な発見

• 純粋n準位密度行列の空間は、複素射影空間CP^{n−1}に同型であり、キュービットのブロッホ球の一般化である。
• n準位系の混合状態密度行列は、(n−1)-次元球面上の固有値とSU(n)ユニタリ行列でパラメータ化され、最も混合度の高い状態は原点に位置する。
• 非自明な幾何学的位相は、SU(n)軌道のリトル群に対応する特定の部分空間でのみ出現し、これが位相のゲージ構造を決定づける。
• n=3の場合、リトル群構造から、非自明な幾何学的位相はSU(3)からSU(2)×U(1)への対称性の低下時にのみ発生することが明らかになる。
• von NeumannエントロピーS(ρ)は0（純粋状態）からln n（最大混合状態）まで変動し、定数エントロピー面は(n−1)-次元球面上の固有値分布の勾配に直交する。
• このフレームワークにより、SU(n)のEulerパラメータ化を用いて幾何学的位相の明示的計算が可能となり、SU(3)系の結果を詳細に記述した論文が近々発表される予定である。