[論文レビュー] Density matrix and dynamical aspects of Quantum Mechanics with Fundamental Length

Alexander Shalyt-Margolin, Juan Suarez|ArXiv.org|Nov 25, 2002

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 19被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、非可換関係を変形するのではなく、密度行列を「密度プロ行列」に変形することにより、量子力学に基本的長さを組み込む変形を提案する。この変形により、低エネルギー極限で標準的なLiouville方程式に還元される、変形されたLiouville方程式を導出する。さらに、ブラックホールのエントロピーに応用し、量子補正を加えたエントロピー式 $ S_{\text{blackhole}} = 0.34657A $ を得た。これはBekenstein-Hawkingの値とは異なる。

ABSTRACT

In this paper Quantum Mechanics with Fundamental Length is built as a deformation of Quantum Mechanics. To this aim an approach is used which does not take into account commutator deformation as usually it is done, but density matrix deformation. The corresponding deformed density matrix, which is called density pro-matrix is given explicitly. It properties have been investigated as well as some dynamical aspects of the theory. In particular, the deformation of Liouville equation is analyzed in detail. It was shown that Liouville equation in Quantum Mechanics appears as a low energy limit of deformed Liouville equation in Quantum Mechanics with Fundamental Length. Some implications of obtained results are presented as well as their application to the calculation of black hole entropy.

研究の動機と目的

• 基本的長さを含む一貫性のある量子力学の形式を、非可換関係の変形ではなく密度行列の変形によって構築すること。
• 最小長スケールが存在する状況で、測定則と動的時間発展がどのように変化するかを調査すること。
• 量子重力における情報パラドックスやブラックホールエントロピーに与える影響を検討すること。
• 標準的量子力学が、変形理論の低エネルギー極限として自然に回復することを示すこと。
• ユニタリティと保存則を保ちつつ、より自然な形でのLiouville方程式の変形を提供すること。

提案手法

• 基本的長さ $ l_{\text{min}} $ を用いて、変形パrameter $ \beta = l_{\text{min}}^2 / x^2 $ を定義する。
• 標準的密度行列の変形として、$ \text{Sp}[\rho] < 1 $ を満たす「密度プロ行列」$ \rho(\beta) $ を定義する。ただし、トレース正規化は保たれる。
• プロ行列の固有値 $ \omega_i $ を用いて、$ \frac{d\omega_i[\beta(t)]}{dt} |i(t)\rangle\langle i(t)| $ の形の変形Liouville方程式を導出する。
• 変形パrameter $ \beta \to 0 $ の極限で、標準的Liouville方程式が回復されることを示す。これは低エネルギー領域に対応する。
• ブラックホール物理学への応用として、ホライズン付近の初期状態（エントロピー0の純粋状態）をモデル化し、特異点における非ゼロエントロピー状態への時間発展を記述する。
• プロ行列を用いてエントロピーを $ S_{1/4} = -\text{Sp}[\rho(1/4)\ln\rho(1/4)] \approx 0.34657 $ として計算し、量子補正付きブラックホールエントロピー式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 測定則を保存しつつ、基本的長さを含む一貫性のある量子力学の変形はどのように可能か？
• RQ2 最小長スケールを持つ理論において、密度行列の動的時間発展はどのように記述されるか？
• RQ3 変形Liouville方程式は標準的Liouville力学とどのように異なり、その低エネルギー極限は何か？
• RQ4 情報パラドックスは、密度プロ行列形式を用いて再解釈可能か？
• RQ5 この変形量子力学の枠組みで、ブラックホールエントロピーの量子補正式はどのように得られるか？

主な発見

• 密度プロ行列 $ \rho(\beta) $ は、標準的密度行列の明示的変形として構成され、$ \text{Sp}[\rho(\beta)] < 1 $ を満たし、量子測定則を保存する。
• 変形Liouville方程式は $ \sum_i \frac{d\omega_i[\beta(t)]}{dt} |i(t)\rangle\langle i(t)| $ の形で導出され、$ \beta \to 0 $ の極限で標準的Liouville方程式に還元される。
• 理論は、純粋状態とゼロエントロピーが、低エネルギー極限でのみ明確に定義可能であり、プランクスケールでは変形のためエントロピーが非ゼロになることを示している。
• ブラックホールエントロピーは $ S_{\text{blackhole}} = 0.34657A $ として計算され、ここで $ A $ はプランク単位での面積であり、Bekenstein-Hawkingの値 $ \frac{1}{4}A $ とは異なる。
• 変形により、ホライズンにおける純粋状態が特異点で非ゼロエントロピーの混合状態に進化するため、情報損失が自然に説明される。
• 提案された変形は、局所性やエネルギー運動量保存則を破らない。これに対して、従来の手法では恣意的な非局所項を導入していた。