[論文レビュー] Density Matrix Renormalization: A Review of the Method and its Applications

K. Hallberg|arXiv (Cornell University)|Mar 26, 2003

Quantum and electron transport phenomena参考文献 5被引用数 14

ひとこと要約

この論文は、低次元の強い相関を持つ量子系をシミュレートするための非常に高精度な数値的手法である密度行列密度行列縮約法（DMRG）をレビューしている。DMRGは密度行列を用いてヒルベルト空間を系統的に切断し、最も関連性の高い状態を保持することで、数100サイトにわたる系において基底状態、動的、熱力学的性質を高精度に計算可能にしている。エネルギーの精度は10⁻¹⁰に達する。

ABSTRACT

The Density Matrix Renormalization Group (DMRG) has become a powerful numerical method that can be applied to low-dimensional strongly correlated fermionic and bosonic systems. It allows for a very precise calculation of static, dynamical and thermodynamical properties. Its field of applicability has now extended beyond Condensed Matter, and is successfully used in Statistical Mechanics and High Energy Physics as well. In this article, we briefly review the main aspects of the method. We also comment on some of the most relevant applications so as to give an overview on the scope and possibilities of DMRG and mention the most important extensions of the method such as the calculation of dynamical properties, the application to classical systems, inclusion of temperature, phonons and disorder, field theory, time-dependent properties and the ab initio calculation of electronic states in molecules.

研究の動機と目的

• DMRG手法の包括的でありながらアクセス可能な概要を、この手法に初めて触れる研究者に向けて提供すること。
• 低次元量子系の静的・動的・熱力学的性質を高精度に計算できる本手法の能力を強調すること。
• 強い相関を持つ系の研究におけるDMRGの主な応用を、物性物理学・統計力学・量子化学の分野で概説すること。
• DMRGの主な拡張について論じること。具体的には、有限温度における動的性質、動的相関関数、およびab initio電子状態計算を含む。
• 強い相関を持つフェルミオン系・ボソン系、特に不純物系や2次元系を研究する上でDMRGが持つ可能性を研究者に示唆すること。

提案手法

• DMRGは密度行列を用いて、スーパーブロックハミルトニアンから最も関連性の高い量子状態を射影し、ヒルベルト空間の最適な切断を実現する。
• 本手法は、1つのサイトをブロックに段階的に追加しながら系を構築する。スーパーブロックハミルトニアンを対角化し、密度行列を用いてm個の最も低い励起状態を保持する。
• 密度行列はスーパーブロックの縮約密度行列から構築され、これにより全系にとって最も確率の高い状態が保持される。
• 動的性質の計算には、相関関数のモーメントからスペクトル関数を再構成するための最大エントロピー（ME）法が用いられる。
• 有限温度における動的性質は、虚時間相関関数を計算するための伝送行列縮約法（TMRG）を用いて得られ、実周波数への解析接続が行われる。
• 本手法は、フォノン、不規則性、分子におけるab initio電子状態計算の取り込みを含め、標準的なスピン鎖系を超えた応用範囲を広げている。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1次元の強い相関を持つ量子系において、DMRGはどのようにして数100サイトの系で基底状態エネルギーを10⁻¹⁰の精度で計算可能となるのか？
• RQ2 反復的DMRGスイープの過程で、ヒルベルト空間の切断を最適化するために密度行列が果たす役割は何か？
• RQ3 DMRGは、スピン構造因子やスペクトル関数といった動的相関関数をどのようにして拡張して計算可能となるのか？
• RQ4 DMRGは、有限温度効果や熱的相関関数をどのようにして取り入れるのか？
• RQ5 2次元量子系、不規則性や不純物モデルのシミュレーションにおいて、DMRGの限界と可能性は何か？

主な発見

• スピン1ヘイゼンベルグ鎖において、DMRGは数100サイトの系で基底状態エネルギーの計算精度が10⁻¹⁰に達することを達成している。
• 特に固有状態の切断が物理的でない境界ノードを生じる相互作用系では、従来の実空間における縮約群手法よりも優れた性能を示す。
• 状態選択に密度行列を用いることで、全系にとって最も関連性の高い状態が保持され、収束性と精度が向上する。
• ヘイゼンベルグ模型のスペクトル関数は、計算されたモーメントから最大エントロピー法を用いて再構成され、ギャップ情報が含まれている場合、定性的に正しい結果が得られている。
• TMRGと解析接続を組み合わせることで、有限温度における動的性質が成功裏に計算されており、Kondo絶縁体およびヘイゼンベルグ鎖における局所的スペクトル関数について、良い定性的一致が得られている。
• DMRGの拡張により、分子におけるab initio電子状態計算、フォノン、不規則性、場の理論的応用の取り込みが可能になった。