[論文レビュー] Density modulo 1 of sublacunary sequences: application of Peres-Schlag's arguments

Nikolay Moshchevitin|ArXiv.org|Sep 21, 2007

Advanced Topology and Set Theory被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、lacunary（ギャップをもつ）より遅い速度で成長するsublacunary（部分ギャップ）列に、Peres-Schlagの確率的技法を適用し、$ t_{n+1}/t_n \geq 1 + \gamma/n^\beta $ かつ $ 0 \leq \beta < 1 $ を満たす列に対して、すべての $ n $ に対して $ \|t_n \alpha\| > \kappa / (n^\beta \log(n+1)) $ を満たす実数 $ \alpha \in [0,1] $ の集合が非可算であり、Hausdorff次元が1であることを証明している。この結果は、従来のディオファントス近似の研究を拡張し、Lov{\ae}szの局所補題フレームワークの洗練された応用により、定量的評価を改善している。

ABSTRACT

Let the sequence $\{t_n\}_{n=1}^{\infty}$ of reals satisfy the condition $ \frac{t_{n+1}}{t_n} \ge 1+ \fracγ{n^β},0\le β&lt;1, γ&gt;0. $ Then the set $ \{α\in [0,1]: \exists \varkappa &gt; 0 \forall n \in \mathbb{N} ||t_n α|| &gt; \frac{\varkappa}{n^β\log (n+1)} \} $ is uncountable. Moreover its Hausdorff dimension is equal to 1. Consider the set of naturals of the form $2^n3^m$ and let the sequence $ s_1=1, s_2=2, s_3=3, s_4=4, s_5=6, s_6 = 8,... $ performs this set as an increasing sequence. Then the set $ \{α\in [0,1]: \exists \varkappa &gt; 0 \forall n \in \mathbb{N} ||s_n α|| &gt; \frac{\varkappa}{\sqrt{n}\log (n+1)} \} $ also has Hausdorff dimension equal to 1. The results obtained use an original approach due to Y. Peres and W. Schlag.

研究の動機と目的

• lacunary列を超えて、制御された成長率をもつsublacunary列へ、ディオファントス近似の定量的結果を拡張すること。
• すべての $ n $ に対して $ \|t_n \alpha\| $ が特定のべき対数減衰の下限でゼロから離れるような、$ \alpha \in [0,1] $ の非可算集合の存在を確立すること。
• このような近似集合のHausdorff次元が1であることを証明すること。これは、列が指数的成長より遅い、あるいは $ 2^n 3^m $ のようにもなる場合でも成り立つ。
• 元来lacunary列を対象としていたPeres-Schlagの確率的フレームワークを、成長が遅いsublacunary設定へと適応・洗練すること。

提案手法

• dyadic区間と測度推定を用いて、nestedな閉集合 $ \mathcal{A}_K $ の再帰的構成を導入し、$ \|t_n \alpha\| > \delta(n) $ を満たす集合の測度を制御する。
• 最小ギャップを $ \tau $ 倍の要因に達するまでの量を定量化する関数 $ H(n, \tau) $ を定義し、$ t_n $ の成長を制御する。
• 測度論的議論を用いて、Lov{\ae}szの局所補題の修正版を適用し、近似集合のLebesgue測度に正の下界を得る。
• 再帰的にnestedな集合を構築し、$ t_n $ と $ \delta(n) $ を含む級数の収束を解析するため、$ n_k = n_{k+1} - h(n_{k+1}) $ を満たす列 $ \{n_k\} $ を用いる。
• dyadic区間被覆 $ A_n $ 及びその補集合 $ A_n^c $ を用いて、$ \{t_n \alpha\} \mod 1 $ の $ \delta(n) $-近傍を避ける $ \alpha $ の測度を推定する。
• 定理3を用いてHausdorff次元の境界を導くために、$ t_n $, $ \delta(n) $, パrameter $ \eta $ を含む級数の収束条件を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Peres-Schlagの手法を、$ t_{n+1}/t_n \geq 1 + \gamma/n^\beta $ かつ $ \beta < 1 $ を満たすsublacunary列へ拡張可能か。その場合、定量的ディオファントス近似の結果が得られるか？
• RQ2 このようなsublacunary列に対して、すべての $ n $ に対して $ \|t_n \alpha\| > \kappa / (n^\beta \log(n+1)) $ を満たす $ \alpha \in [0,1] $ の集合のHausdorff次元は何か？
• RQ3 適切な成長・減衰条件の下で、$ \{t_n \alpha\} \mod 1 $ の $ \delta(n) $-近傍を避ける $ \alpha $ の集合は正の測度を持ち、Hausdorff次元が1であるか？
• RQ4 lacunaryでないがsublacunaryであるような列 $ s_n = 2^m 3^n $ に対しても、この手法を適用し、近似集合の次元が1であることを証明できるか？

主な発見

• 任意の列 $ \{t_n\} $ が $ t_{n+1}/t_n \geq 1 + \gamma/n^\beta $ かつ $ 0 \leq \beta < 1 $ を満たすとき、すべての $ n $ に対して $ \|t_n \alpha\| > \kappa / (n^\beta \log(n+1)) $ を満たす $ \alpha \in [0,1] $ の集合は非可算である。
• この集合のHausdorff次元は正確に1であり、列がlacunary列より遅く成長する場合でも成り立つ。
• 列 $ s_n $ が $ \{2^m 3^n\} $ を列挙する場合、すべての $ n $ に対して $ \|s_n \alpha\| > \kappa / (\sqrt{n} \log(n+1)) $ を満たす $ \alpha $ の集合のHausdorff次元は1である。
• この手法は、測度推定と再帰的区間構成を用いて、正の測度と完全な次元を保証するPeres-Schlagフレームワークの洗練された応用に依存している。
• 特定の級数（$ t_n $, $ \delta(n) $, パrameter $ \eta $ を含む）の収束が、$ t_n $ の成長に関する条件下で、完全なHausdorff次元を示すことが示された。
• 指数的成長やそれ以上の成長を仮定する必要はなく、$ \exp(n^\beta) $ のような部分指数的列に対しても、完全な次元を持つ集合が得られる。