[論文レビュー] Density of minimal hypersurfaces for generic metrics

Kei Irie, Fernando C. Marques+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 30, 2017

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 12被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、$3 \leq n+1 \leq 7$ である閉じた $(n+1)$-次元多様体上の一般の $C^\infty$ リーマン計量に対して、すべての閉じた滑らかで埋め込まれた最小超曲面の和集合が多様体内で稠密であることを証明している。体積スペクトルのウェイ法則、モース指数の推定、ホワイトのバンプ計量定理を用いて、このような超曲面が任意の開集合と交わらなければならないことを示し、一般計量におけるヤウの予想（無限個の最小超曲面の存在）を裏付けた。

ABSTRACT

For almost all Riemannian metrics (in the $C^\infty$ Baire sense) on a closed manifold $M^{n+1}$, $3\leq (n+1)\leq 7$, we prove that the union of all closed, smooth, embedded minimal hypersurfaces is dense. This implies there are infinitely many minimal hypersurfaces thus proving a conjecture of Yau (1982) for generic metrics.

研究の動機と目的

• 1982年に提唱されたヤウの予想（任意の閉じた3次元多様体は無限個の滑らかで閉じた自己埋め込み最小曲面を含む）を、一般計量において証明すること。
• 3 \leq n+1 \leq 7 である閉じた $(n+1)$-次元多様体 $M^{n+1}$ 上の一般の $C^\infty$ 計量に対して、すべての閉じた滑らかで埋め込まれた最小超曲面の和集合が多様体内で稠密であることを確立すること。
• 体積スペクトルのウェイ法則と摂動技法を用いて、重複度や退化の障害を克服し、新たな最小超曲面を生成できることを示すこと。
• 非退化な最小超曲面（バランプ計量）の性質を用いて、最小化構成における横断性を保証し、退化を回避すること。
• アイリの測地線稠密性手法を、体積スペクトルの漸近挙動と共形摂動を用いて、高次の余次元最小超曲面へと拡張すること。

提案手法

• リョクムビッチ、マルケス、ネーヴェスが証明した体積スペクトルのウェイ法則 $\lim_{k\to\infty} \omega_k(M,g)k^{-1/(n+1)} = a(n)\,{\rm vol}(M,g)^{n/(n+1)}$ を利用した。
• アルムグレン＝ピットスの最小最大化理論を用い、$\mathcal{Z}_n(M;\mathbb{Z}_2)$ 内の $\mathbb{RP}^\infty$-スイーパウト上で面積汎関数の臨界点として最小超曲面を構成した。
• コンパクト台を持つ非負の関数 $h$ を用いた共形変形 $g(t) = (1 + th)g$ を用い、体積を増加させ、$\omega_k(M,g(t))$ の増加を強制した。
• ホワイトのバランプ計量定理を適用し、すべての最小超曲面が非退化であることを保証した。これにより、計量摂動における逆関数定理の適用が可能になった。
• $t \mapsto \omega_k(M,g(t))$ の連続性と、バランプ計量下での最小超曲面の可算性を組み合わせ、ある開集合と交わらない超曲面が存在すると仮定すると矛盾を導いた。
• マルケスとネーヴェスによる鋭い指数推定を用いて、最小最大化による最小超曲面のモース指数を制御し、摂動下でも非退化性を保証した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 閉じた多様体 $M^{n+1}$ に対して、$3 \leq n+1 \leq 7$ であるとき、一般の $C^\infty$ リーマン計量の下で、すべての閉じた滑らかで埋め込まれた最小超曲面の和集合が $M$ 内で稠密になるか？
• RQ2 体積スペクトルのウェイ法則を用いて、計量摂動によって新たな最小超曲面を構成することは可能か？
• RQ3 スペクトル理論と最小最大化技法を用いて、一般計量における無限個の最小超曲面の存在を証明することは可能か？
• RQ4 非退化な最小超曲面（バランプ計量）が、共形変形下での体積スペクトルにどのように作用するか？
• RQ5 正のリッチ曲率やその他の曲率条件を仮定せずに、最小超曲面の稠密性を確立することは可能か？

主な発見

• 任意の閉じた多様体 $M^{n+1}$ に対して、$3 \leq n+1 \leq 7$ であるとき、$C^\infty$ で一般のリーマン計量の下で、すべての閉じた滑らかで埋め込まれた最小超曲面の和集合は $M$ 内で稠密である。
• 各 $k$ に対して、体積スペクトル $\omega_k(M,g)$ は、整数重複度を許容する滑らかで埋め込まれた閉じた最小超曲面の面積として実現される。
• ウェイ法則により、共形摂動 $g(t) = (1 + th)g$ の下で、$h$ が非空な開集合上で正であれば、$k$-番目の体積スペクトル $\omega_k(M,g(t))$ は $t > 0$ が十分小さくても厳密に増加する。
• ある開集合 $U \subset M$ と交わる非退化な最小超曲面が存在する計量の集合は、$C^\infty$ 位相において開かつ稠密である。
• 多様体 $M$ の可算基底の各開集合に対して上記の開稠密集合の共通部分をとることで、最小超曲面の和集合が稠密となる $C^\infty$ ベア・ジェネリック計量の集合が得られる。
• 本結果により、ヤウの予想（1982年）が一般の場合に確認された：$3 \leq n+1 \leq 7$ である閉じた多様体 $M^{n+1}$ 上の一般計量に対して、無限個の滑らかで閉じた埋め込み最小超曲面が存在する。