[論文レビュー] Density of positive Lyapunov exponents for SL(2,R) cocycles

Artur Avila|arXiv (Cornell University)|Apr 25, 2010

Quantum chaos and dynamical systems参考文献 11被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、非周期的なベースダイナミクスおよびすべての標準的正則性クラス（例：ホルダー、ソボレフ、滑らか）に対して、SL(2,R)コサイクルの空間において正のリャプノフ指数が稠密であることを確立する。シュレーディンガー・コサイクルの文脈において、解析的および摂動的技法を用いて、一般のポテンシャルに対して、正のリャプノフ指数が稠密なエネルギー集合に広く存在することを証明し、この設定における非一様双曲的の広がりという長年の問いに答えを提示する。

ABSTRACT

We show that SL(2,R) cocycles with a positive Lyapunov exponent are dense in all regularity classes and for all non-periodic dynamical systems. For Schrödinger cocycles, we show prevalence of potentials for which the Lyapunov exponent is positive for a dense set of energies.

研究の動機と目的

• 非周期的ベースダイナミクスのもとで、さまざまな正則性クラスにおいて、ゼロのリャプノフ指数をもつコサイクルが、正のリャプノフ指数をもつコサイクルで近似可能かどうかを特定すること。
• 特に滑らかおよび解析的正則性クラスにおいて、SL(2,R)コサイクル設定における非一様双曲的の稠密性という問いを解決すること。
• 一般のポテンシャルの集合に対して、シュレーディンガー・コサイクルのエネルギー集合において正のリャプノフ指数が広く存在することを確立すること。
• 低正則性（連続的）設定における既知の結果を、高正則性（ホルダー、滑らか、解析的）のカテゴリーへと拡張すること。

提案手法

• リー代数 sl(2,R) からの指数写像を用いた滑らかな摂動を可能にする、'豊富な'コサイクル位相空間の概念を導入する。
• コサイクルのパラメータ関数としてのリャプノフ指数を解析するため、コタニ理論および解析接続技法を用いる。
• s = 0 の近傍における Prüfer 角関数 Φε(v + E + tw, sw) の解析性を用いて、モノドロミー跡の消滅次数を研究する。
• Φε の漸近的展開に基づく背理法を用いて、リャプノフ指数が恒等的にゼロとなる正の測度のパラメータ集合が存在しないことを排除する。
• 消滅次数 k(E,t) の連続性および上半連続性を活用し、リーディング・オーダー係数 c(E,t) が連続的かつ正であるコンパクト集合 K と区間 J を抽出する。
• 補題 4.2 の推定と、入れ子のスケールにおける幾何級数的議論を組み合わせることで、正の測度の集合でリャプノフ指数がゼロであると仮定した場合に矛盾を導く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ベースダイナミクスが非周期的であるとき、連続的コサイクル空間において、正のリャプノフ指数をもつSL(2,R)コサイクルの集合は稠密か？
• RQ2 高正則性クラス（Ck、ホルダー、解析的）において、ゼロのリャプノフ指数をもつコサイクルは、正のリャプノフ指数をもつコサイクルで近似可能か？
• RQ3 シュレーディンガー・コサイクルにおいて、エネルギー集合において正のリャプノフ指数をもつポテンシャルの集合は、稠密に存在するか？
• RQ4 リャプノフ指数が恒等的にゼロとなるパラメータ集合の構造は何か？そして、一般条件のもとでその存在を排除できるか？

主な発見

• 非周期的ベースダイナミクスおよびすべての標準的正則性クラス（滑らか、解析的を含む）において、豊富なコサイクル空間において正のリャプノフ指数は稠密である。
• シュレーディンガー・コサイクルにおいて、エネルギー集合において正のリャプノフ指数をもつポテンシャルの集合は、測度的および集合論的意味で一般に存在する。
• リャプノフ指数がパラメータ集合の正の測度で恒等的にゼロであると仮定した場合、Prüfer 角関数の漸近的挙動およびその s のべき級数展開に基づく背理法により矛盾が生じることを証明した。
• モノドロミー跡の展開におけるリーディング・オーダー項が、k が偶数で c(E,t) > 0 であるコンパクト集合上にあり、これが矛盾の根拠となる。
• Prüfer関数における一様推定と、入れ子のスケールにおける幾何級数的議論を組み合わせることで、仮定されたゼロ指数が不可能なかつような成長率を導く。
• 摂動 w を固定したままポテンシャルを線形族 v + tw で変化させることで、全パラメータ空間における稠密性が証明され、これは結果が成立する。