[論文レビュー] Density Tracking by Quadrature for Stochastic Differential Equations

Harish S. Bhat, R. W. M. A. Madushani|arXiv (Cornell University)|Oct 29, 2016

Stochastic processes and financial applications参考文献 21被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、確率微分方程式（SDE）の解の確率密度関数を計算する数値的手法である四則積分による密度追跡（DTQ）を導入する。この手法は、Euler-Maruyama時間離散化と空間方向の台形則による数値積分を組み合わせるもので、Markov連鎖密度への$L^1$ノルムにおける指数的収束と、真のSDE密度への1次収束を達成し、同等の精度においてFokker-Planckソルバーを上回る高速性を示す。

ABSTRACT

We develop and analyze a method, density tracking by quadrature (DTQ), to compute the probability density function of the solution of a stochastic differential equation. The derivation of the method begins with the discretization in time of the stochastic differential equation, resulting in a discrete-time Markov chain with continuous state space. At each time step, DTQ applies quadrature to solve the Chapman-Kolmogorov equation for this Markov chain. In this paper, we focus on a particular case of the DTQ method that arises from applying the Euler-Maruyama method in time and the trapezoidal quadrature rule in space. Our main result establishes that the density computed by DTQ converges in $L^1$ to both the exact density of the Markov chain (with exponential convergence rate), and to the exact density of the stochastic differential equation (with first-order convergence rate). We establish a Chernoff bound that implies convergence of a domain-truncated version of DTQ. We carry out numerical tests to show that the empirical performance of DTQ matches theoretical results, and also to demonstrate that DTQ can compute densities several times faster than a Fokker-Planck solver, for the same level of error.

研究の動機と目的

• SDEの解の確率密度関数を数値的に収束する手法を開発すること。
• 密度近似がMarkov連鎖密度および真のSDE密度に理論的に収束することを確立すること。
• 拡散過程における統計的推論のためのFokker-Planckソルバーの計算効率の高い代替手法を提供すること。
• 空間的および時間的離散化が収束速度および正規化性に与える影響を分析すること。

提案手法

• SDEの時間離散化をEuler-Maruyamaスキームにより行い、連続状態空間を持つ離散時間Markov連鎖が得られる。
• Chapman-Kolmogorov方程式を用いてMarkov連鎖の密度の時間発展をモデル化する。
• 空間離散化は等間隔グリッド上での台形則による積分近似により実施され、遷移密度の積分が近似される。
• 得られる離散近似$\hat{p}$は反復的に計算され、各ステップで確率測度の整合性を保つために正規化が施される。
• ドメイン切断版の収束を保証するChernoff不等式が導出される。
• Fokker-Planck方程式の有限差分ソルバーとの比較により、計算効率および精度の妥当性が検証される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 DTQ近似$\hat{p}$の真のSDE密度$p$への収束速度はいかほどか？
• RQ2 時間積分法および数値積分則の選択が密度近似の収束性および安定性に与える影響は？
• RQ3 同等の精度を維持しつつ、従来のFokker-Planckソルバーを上回る計算効率をDTQが達成できるか？
• RQ4 孤立した点で拡散係数が消えるSDEにDTQを拡張するにはどのような修正が必要か？
• RQ5 Wiener過程でないLévy過程（例：α安定Lévy運動）で駆動されるSDEに対してもDTQを一般化できるか？

主な発見

• DTQ手法はMarkov連鎖密度$\tilde{p}$への$L^1$ノルムにおける指数的収束を達成し、誤差は正の定数$r$と$\kappa$を用いて$O(h^{-1} \exp(-r h^{-\kappa}))$のオーダーで減少する。
• $\hat{p}$の真のSDE密度$p$への収束速度は1次であり、Euler-Maruyama離散化の$O(h)$収束と一致する。
• ドメイン切断版の収束を保証するChernoff不等式が確立され、実装におけるロバスト性が保証される。
• 数値実験により、同程度の誤差を達成する場合にDTQはFokker-Planckソルバーの数倍の速度で密度を計算できることを確認した。
• 手法は良好な正規化性を維持しており、離散近似$\hat{q}$が$\tilde{p}$に$L^1$ノルムで収束することから、対応する確率変数の全変動距離における収束が示唆される。
• 予備的な結果から、Euler-Maruyamaを高次時間積分法に置き換えることで、$p$への$O(h^2)$収束が達成可能である可能性が示唆され、ただし遷移核を再定義する必要がある。