[論文レビュー] Dependence between External Path-Length and Size in Random Tries

Michael Fuchs, Hsien‐Kuei Hwang|arXiv (Cornell University)|Apr 29, 2016

Algorithms and Data Compression参考文献 14被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、偏りのあるおよび対称的なビット分布下でのランダムトライのサイズと外部パス長（EPL）の依存関係を調査する。ポisson化、Mellin変換、収縮法を用いて、非対称な場合にEPLとサイズは漸近的に独立であるが、対称な場合には強い周期的依存を示すことが示された。これは、相関係数が0、1、または周期的変動を示す二変量正規極限定理の稀な例である。

ABSTRACT

We study the size and the external path length of random tries and show that they are asymptotically independent in the asymmetric case but strongly dependent with small periodic fluctuations in the symmetric case. Such an unexpected behavior is in sharp contrast to the previously known results that the internal path length is totally positively correlated to the size and that both tend to the same normal limit law. These two examples provide concrete instances of bivariate normal distributions (as limit laws) whose correlation is $0$, $1$ and periodically oscillating.

研究の動機と目的

• 変動するビットバイアス下でのランダムトライにおけるサイズと外部パス長（EPL）の漸近的依存構造を分析すること。
• バイアスパラメータpに応じて、EPLとサイズが極限で非相関または相関するかどうかを特定すること。
• 特にp = 1/2（対称）とp ≠ 1/2（非対称）の場合に、サイズとEPLの極限における二変量分布の性質を特定すること。
• サイズとEPLの相関係数が、極限で0、1、または周期的変動を示すことが示され、内部パス長に関する既知の結果と対比すること。

提案手法

• サイズ $ S_n $、EPL $ K_n $、内部パス長 $ N_n $ の再帰的関係にポisson化を適用し、より取り扱いやすい形に問題を変換する。
• Mellin変換技術を用いて、特に $ p = 1/2 $ の対称ケースにおける $ S_n $ と $ K_n $ の漸近的モーメントおよび分散を分析する。
• 収縮法を用いて $ (S_n, K_n) $ の漸近的同時正規性を証明し、中心化および正規化後に、単位共分散行列を持つ二変量正規分布に収束することを示す。
• 対称ケースにおける周期的フラクチュエーションは、関数 $ \fancyscript{F}[g](n) $ を用いて捉えられ、これは $ \log p / \log q $ の有理化に依存する。
• デポisson化技術を用いて、ポisson化モデルから固定された $ n $ の元のモデルに戻す結果を転送する。
• 相関係数 $ \mathrm{Cov}(S_n, K_n) $ の漸近的挙動を分析し、特に $ p = 1/2 $ の場合に注目する。この場合、$ K_n $ の分散は $ n \log n $ ではなく $ n $ のオーダーとなる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ビット分布が偏っている（p ≠ 1/2）場合、ランダムトライにおけるサイズと外部パス長の相関は漸近的にどのように振る舞うか？
• RQ2 対称ケース（p = 1/2）におけるサイズとEPLの依存関係の性質は何か？また、非対称ケースとはなぜ異なるのか？
• RQ3 サイズとEPLの同時極限分布は二変量正規分布として特徴付けられるか？もしそうなら、極限における相関構造は何か？
• RQ4 なぜEPLの分散はp ≠ 1/2の場合は $ \Theta(n \log n) $ に比例するのに対し、p = 1/2の場合は $ \Theta(n) $ に比例するのか？

主な発見

• 非対称ケース（p ≠ 1/2）では、サイズ $ S_n $ と外部パス長 $ K_n $ は漸近的に非相関であり、相関係数は0に近づく。
• 対称ケース（p = 1/2）では、$ S_n $ と $ K_n $ の間の相関は強く正であり、$ \log p / \log q $ の有理化に起因する小さな周期的フラクチュエーションを示す。
• 中心化および正規化後の $ (S_n, K_n) $ の同時分布は、単位共分散行列を持つ二変量正規分布に分布収束し、漸近的同時正規性が確認された。
• 極限における$ S_n $ と $ K_n $ の相関係数は、非対称ケースでは0、対称ケースでは1に周期的変動を示す。これは、相関係数が0、1、または周期的変動を示す二変量正規極限定理の明確な例である。
• EPLの分散は、p ≠ 1/2 の場合に $ \Theta(n \log n) $ のオーダーであるが、p = 1/2 の場合には $ \Theta(n) $ のオーダーにまで低下する。これは、p = 1/2 で係数 $ \lambda = \frac{pq \log^2(p/q)}{h^3} $ が消えるためである。
• 収縮法およびポisson化技術により、$ (S_n, K_n) $ の漸近的同時正規性が成功裏に確立され、$ L_3 $ 収束および行列係数のほとんど確実収束を用いて収束が証明された。