[論文レビュー] Dependency Pairs Termination in Dependent Type Theory Modulo Rewriting

Lepigre, Rodolphe, Raffalli, Christophe|arXiv (Cornell University)|Apr 7, 2016

Logic, programming, and type systems参考文献 28被引用数 1

ひとこと要約

この論文は、部分型付き、帰納型およびコーカンダクティブ型、およびサイズ注釈を備えた拡張された System F を対象とする実用的で構文指向の型システムを提示する。局所的部分型と選択作用素（ヒルベルトのエプシロン記法にインspired）を用いることで、サイズの推論を再帰から分離し、正規化と停止性を保証するための意味論的手法に基づく、well-founded な循環的型付け証明を可能にする。

ABSTRACT

Dependency pairs are a key concept at the core of modern automated termination provers for first-order term rewriting systems. In this paper, we introduce an extension of this technique for a large class of dependently-typed higher-order rewriting systems. This extends previous results by Wahlstedt on the one hand and the first author on the other hand to strong normalization and non-orthogonal rewriting systems. This new criterion is implemented in the type-checker Dedukti.

研究の動機と目的

• 部分型付きの実用的型システムを設計し、多態形式、帰納型およびコーカンダクティブ型、停止性のためのサイズ不変量を統合する。
• Haskell や OCaml のような表現力のある型システムにおける既存の部分型システムの限界を克服し、複雑な型コンストラクタを含む完全な部分型を可能にする。
• 再帰的プログラムの停止性を直接チェックするのではなく、その型付け導出が well-founded で循環的であることを証明することで保証する。
• 統一的かつ実装可能な枠組み内で、混合多態形式、(コ-)帰納、Scott 編碼データ型をサポートする。

提案手法

• 部分型を 't が型 A を持てば、B の型も持つ' と解釈するため、局所的部分型判断 t ∈ A ⊂ B を導入する。
• 反例を表すために選択作用素 εx∈A(t /∈B) を用い、型コンテキストの必要性を排除し、閉じた項における型付け導出を可能にする。
• 構文指向であり、各項または型コンストラクタごとにのみ適用される型付け規則を定式化することで、型推論と統一を簡素化する。
• 帰納型およびコーカンダクティブ型に順序数の注釈を埋め込み、構造的減少を追跡し、停止性を保証するサイズ不変量を記述する。
• 還元可能性候補と意味論的正規化証明に依存して、well-founded な循環的型付け証明を構築する。
• 標準的な統一技術を用いてシステムを実装し、存在型、レコード型、拡張可能な和型・積型をサポートする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 表現力のある型システム（(コ-)帰納型、サイズ注釈を含む）に対して、実用的で構文指向の部分型システムを設計することは可能か？
• RQ2 多態形式、帰納型およびコーカンダクティブ型、サイズ不変量と部分型を統合する際、型安全性や決定可能性を損なわずに実現できるか？
• RQ3 循環的型付け証明を用いて、直接的な再帰チェックなしに正規化と停止性を保証できるか？
• RQ4 選択作用素と局所的部分型は、従来の型コンテキストを置き換え、複雑な型構成を処理できるか？
• RQ5 標準的な統一技術を用いて効率的に実装可能であり、複雑なバリアンス解析を回避できるか？

主な発見

• 本システムは、クイックソートや Scott 編碼データ型を含む、混合帰納・コーカンダクティブ・多態形式を含む複雑なプログラムの停止性証明を成功裏にサポートする。
• 選択作用素と局所的部分型の使用により、型コンテキストを必要とせず、閉じた項における型付け導出を可能にする構文指向型システムが実現される。
• 本システムの型付け規則は、標準的な統一技術を用いて実装可能であり、著者らは論文に記載されたすべての例プログラムを処理できる動作する実装を提供している。
• 本アプローチにより、サイズの推論を再帰から分離でき、停止性は直接的な構文的チェックではなく、循環的型付け証明の well-founded さに依存して導出される。
• 本システムは、リスト上の map 関数のようなサイズ保存変換を、型システムにサイズ不変量を埋め込むことで表現・検証可能である。
• 本フレームワークは、存在型へのドット記法や拡張可能なレコードをサポートし、変数の再名前変更を回避する明確な実装戦略を備えている。